Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Mengen M mit Verknupfung, welche der Gruppenaxiome sie erfullen.

Question

Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Mengen M mit Verknüpfung, welche der Gruppenaxiome  sie erfullen. Begründen Sie Ihre Entscheidungen.

M = nZ = {n·a  |a ∈ Z} fur ein n ∈ N mit der üblichen Multiplikation von ganzen Zahlen  als Verknüpfung.

ich habe bereits das neutrale Element bewiesen, dass das neutrale El. 1 ist. Jetzt komm ich mit dem Beweis vom inversen El. nicht so weiter. Also ich habe versucht  so zu beweisen. für alle n Element N exstiert a Element Z für na ·  (na)^-1=e=1 => es existiert ein inverses El. Aber ich bin mir sicher unsicher damit, kann jmd. mir dabei vielleicht paar tipps geben? danke im voraus.

MfG

Answer 1

Hallo Justin,

man muss hier zwei Fälle für n∈ℕ unterscheiden:

1) n = 1  →  M = ℤ

Dann gilt das Assoziativgesetz und 1 ist neutrales Element 

Für a∈ℤ \ {1} ist die Gleichung   a * x = 1  nicht zu erfüllen, weil 1/a ∉ ℤ  bzw. 1/0 nicht definiert ist.

Also gibt es i.A. keine inversen Elemente.

2) n ≠ 1  →  M = Menge der ganzzahligen Vielfachen von n

Wegen  [ (n*a) * (n*b) ] * (n*c)  =  (n*a) * [ (n*b) * (n*c) ]    für alle a,b,c ∈ ℤ  

gilt das Assoziativgesetz.

kein Neutrales:

die Gleichung   (n*a) * x = n*a  ist nicht f.a. a zu erfüllen, da x=1 und damit n = 1 sein müsste.

Ohne neutrales Element sind keine inversen Elemente definiert.

Gruß Wolfgang 

Comments

Danke schön, ist die Gruppe auch abgeschlossen? Ich bin mir nicht sicher ,wie man das beweisen soll.. also ich habe einfach versucht mit n*a=na  und n ist element von M und a ist element von M somit abgeschlossen.. aber das sieht irgendwie nicht so richtig aus.. Können Sie mir dabei vil. noch bisschen helfen? dann weiß ich auf jeden Fall, wie man solche Aufgabe löst und komm mit den Anderen dann wahrscheinlich besser zurecht.

MfG

Justin

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>  ist die Gruppe auch abgeschlossen? 

(n*a) * (n*b)  ∈ M  ?

=  n * nab  und das ist in M, weil  nab ∈ ℤ  gilt

Answer 2

Da \(0\) in \(\left(\mathbb{Z},\cdot\right)\) nicht invertierbar und weiter

$$ \mathbb{Z} = 1\mathbb{Z} \supsetneq 2\mathbb{Z} \supsetneq 3\mathbb{Z} \supsetneq \dots \ni 0$$ist, gilt in keinem \(\left(M,\cdot\right)\) das Invertierbarkeitsaxiom.