Entscheiden Sie bei jeder der folgenden Mengen M mit Verknüpfung welche der Gruppenaxiome sie erfüllen.

Question

M = { g ∈ G | ∀h ∈ G: g * h = h * g } für eine Gruppe (  G, *) mit der Verknüpfung der  Gruppe (G, *) als Verknüpfung. 

ich weiß gerade nicht wie ich bei dieser Aufgabe die Abgeschlossenheit zeigen soll.. also ich hab versucht mit g*h=h*g zu begründen ,dass M abgeschlossen ist ,da h*g element G ist. aber das scheint ja nicht wirklich richtig zu sein. Kann jmd. mir paar tipps geben? ,

MfG

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also ich habe noch versucht mit (g1,h1)*(g2,h2)=(g1*g2,h1*h2) zu beweisen, dass g1*g2 element G ist und h1*h2 ebenfalls. Ist das so richtig?

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Die Elemente von M kommutieren mit allen Elementen von G. Wenn g₁, g₂ ∈ M, dann ist zu zeigen, dass g₁ * g₂ auch mit allen Elementen aus G kommutiert, d.h. es muss

   (g₁ * g₂) * h = h * (g₁ * g₂)

fuer alle h ∈ G gelten.

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d.h. also dass hier um einer abelschen Gruppe handelt? wie zeige ich dann die Gruppenaxiome?

MfG

Answer 1

> ich weiß gerade nicht wie ich bei dieser Aufgabe die Abgeschlossenheit zeigen soll

Seien g₁, g₂ ∈ M. Dann gilt für alle h ∈ G

    (g₁ * g₂) * h

= g₁ * (g₂ * h) wegen Assoziativgesetz in G

= g₁ * (h * g₂) wegen g₂ ∈ M

= (g₁ * h) * g₂ wegen Assoziativgesetz in G

= (h * g₁ ) * g₂ wegen g₁ ∈ M

= h * (g₁ * g₂) wegen Assoziativgesetz in G.

Also ist (g₁ * g₂) ∈ M.

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Vielen Dank für die Antwort. Jetzt bin ich zum neutralen Element von der Aufgabe gekommen. es muss ja nach der Def. gelten, g*e=e*g=g. aber mit den gegebenen Mengen komm ich irgendwie damit nicht weiter.. Können Sie mir da paar tipps geben?

MfG