Grenzwert berechnen für Folgen

Question

Gegeben:

$$ \frac{(2 - \frac{1}{\sqrt(n)})^{10} - (1 + \frac{1}{(n^2)} )^{10}}{ 1- \frac{1}{n^2} - \frac{1}{\sqrt(n)}}$$

Berechne den Grenzwert lim_n→∞a_n

Muss ich hier etwas umformen, oder kann ich einfach sagen, die n-Terme verschwinden und übrig bleibt:

$$ \frac{2^{10}-1^{10}}{1} $$Also konvergiert die Folge nach 1023?

Die Aufgabe sieht so einfach aus, gibt aber trotzdem so viele Punkte, daher wollte ich nachfragen, bevor ich mich komplett blamier.

Comments

Wenn Du schon mal was von den Grenzwertsaetzen gehoert hast, brauchst Du Dich nicht zu blamieren -- Du wendest sie einfach an. Mit "... kann ich einfach sagen, die n-Terme verschwinden und übrig bleibt ..." stehst Du allerdings etwas doof da. :)

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Dann muss ich mathematisches Fachjargon verwenden, Grenzwert von 1/n für n nach unendlich. Das Resultat stimmt aber?

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Du schreibst da links an Deinen Bruch \(\lim_{n\to\infty}\) dran und schiebst den mit den Grenzwertsaetzen immer weiter zu den Einzeltermen durch, bis nur noch direkt angebbare Grenzwert bleiben. Dann ist die Rechnung fertig und es kommt 1023 raus.

Du kennst doch die Grenzwertsaetze?

Answer 1

Wie vorher gesagt, das Ergebnis ist richtig. Du kannst jeweils die Grenzwerte der einzelnen Komponenten berechnen und dann zusammensetzen.