Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt ein kritischer Punkt der Funktion ist

Question

Aufgabe:

Im \( \mathbb{R}^{n} \) seien die Punkte \( a^{(1)}, \ldots, a^{(N)} \) gegeben.

(a) Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt \( m=\frac{1}{N} \sum \limits_{j=1}^{N} a^{(j)} \) ein kritischer Punkt der Funktion
\( f(x)=\sum \limits_{j=1}^{N}\left\|x-a^{(j)}\right\|_{2}^{2}, \quad x \in \mathbb{R}^{n} \)
ist.

(b) Begründen Sie, dass es sich um ein Minimum handelt. Hinweis zu b): Betrachten Sie \( f(m+x)-f(m) \)

Ansatz:

Meine erste Überlegung war den Gradienten zu bestimmen und diesen mit Null gleichzusetzen. Um zu schauen ob der Punkt m ein kritischer Punkt ist. Bin mir aber nicht sicher. Auch erinnert mich die Funktion an die Methode der kleinsten Quadrate.

Comments

Hallo Haferflocke,

was bedeutet die tiefer gestellte 2 hinter den Betragsstrichen?

$$f(x)=\sum_{j=1}^N \left \lVert x - a^{(j)} \right \rVert_{\colorbox{#FF8080}{2}}^2$$

---

Die Zwei sagt aus dass es sich hier um die euklidische Norm handelt.

---

Das ist die Euklidische Norm

Answer 1

Hi,
$$ f(x) = \sum_{j=1}^N \| x - a^{(j)} \|_2^2 = \sum_{j=1}^N \sum_{i=1}^n \left( x_i - a_i^{(j)}  \right)^2 $$
Für den kritischen Punkt muss gelten
$$ \frac{\partial f(x)}{\partial x_k} = \sum_{j=1}^N \sum_{i=1}^n 2 \left( x_i - a_i^{(j)}  \right) \delta_{ik} =  2 \sum_{j=1}^N \left( x_k - a_k^{(j)}  \right) = 2 \left( N x_k - \sum_{j=1}^N a_k^{(j)} \right) = 0 $$
Also
$$ x_k = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N a_k^{(j)} $$

Answer 2

Gradient war doch eine gute Idee.

Dazu brauchst die Ableitung von f(x) nach x_k mit k ∈ { 1,...,n}.

Dazu würde ich so überlegen:   f(x) ist eine Summe, also jeder

Summand einzeln ableitbar.  Ein Summand wie || x - a^(j) ||₂² ist durch das

Quadrat einfach nur die Summe über alle ( x_k - a^(j)_k)²  für k = 1 bis n.

Wenn man die nach x_k  ableitet, fallen alle Summanden weg, bis auf den k-ten

und aus dem wird  2* ( x_k - a^(j)_k)   .

Also ist die k-te partielle Ableitung  f_k' (x) = ∑ von j = 1 bis N über  2* ( x_k - a^(j)_k)

=2 * (   ( ∑ von j = 1 bis N über   x_k  )  -    ( ∑ von j = 1 bis N über   a^(j)_k) ) 

Die erste Summe in der Klammer besteht aus N gleichen Zahlen, also hast du

= 2 * (  N*x_k   -    ( ∑ von j = 1 bis N über   a^(j)_k) ) .      #

Und wenn du nun in diese  k-te partielle Ableitung  das m für x einsetzt,

muss du nur überlegen wie die k-te Komponente von m aussieht, nämlich 

          (1/N) * ∑ von j = 1 bis N über   a^(j)_k     

also   N*x_k  = ∑ von j = 1 bis N über   a^(j)_k  

und damit zeigt # :  Die k-te part. Ableitung am Punkt m ist 0, also 

m ein krit. Pkt.