Steckbriefaufgabe, im Sachzusammenhang

Question

200m über der Talsohle liegen sowohl Westen als auch im Osten Hochebenen mit den Abhängen f und g. f ist eine Funktion 3. Grades, die ohne Knick horizontal von der Hochebene abfällt und auch horizontal ins Tal ausläuft. g ist eine quadratische Parabel, die ebenfalls horizontal von der Hochebene abfällt.

a) Bestimme die Funktionsgleichungen von f und g

b) Berechne die Stelle, an der der Abhang f am steilsten ist.

bei a) habe ich bereits die Funktionsgleichung für f aufgestellt (haben wir im Unterrcht gemeinsam erarbeitet) f(x)=1/16x^3 +3/8x^2

Ich komme bei der Funktion für g nicht auf das richtige Ergebnis... und bei b) weiß ich nicht wie ich es angehen soll.

:)

Comments

Gibt's da vielleicht ein Foto dazu?

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Die Aufgabenstellung ist unvollständig - bitte poste den ungekürzten Originaltext der Fragestellung und fertige eine Skizze dazu an.

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Das ist die komplette Aufgabe mit Skizze

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Für Teil b setzt man die 2 ableitung  gleich null.

Dann setzt man den x wert in die erste Ableitung ein und bekommt entweder einen negativen Wert, der für den größten Abfall steht oder einen positiven Wert, der für die größte Steigung steht.

Für f‘‘(x) kommt x= -2 raus

(f‘(-2)<0)

Für g‘‘(x) kommt x =-1/4 raus, die du zu den x Achsenabschnitt 5 dazurechnest, da die Funktion von da „startet“ und bekommst so x=7,31

(f‘(-1/4)>0)

Answer 1

Hallo Nobody,

die allgemeine Form für eine quadratische Gleichung kann lauten

f(x) = ax^2 + bx + c
f'(x) = 2ax + b

An der Stelle x = 5 ist eine Nullstelle, das heißt

f(5) = 0 ⇒ 25a + 5 b + c = 0

Bei x = 9 nimmt die Funktion den Wert 2 an:

f(9) = 2  ⇒ 81a + 9b + c = 2

An dieser Stelle hat die Funktion ihren Hochpunkt, also

f'(9) = 0 ⇒ 18a + b = 0

Jetzt hast du ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Aufgelöst ergibt das für

a = -1/8

b = 9/4

c= -65/8

Also lautet die Funktionsgleichung

$$ g(x) = -\frac{1}{8}x^2+\frac{9}{4}x-\frac{65}{8} $$

Gruß
Silvia

Comments

Dankeschön ! Die beiden Bedingungen mit dem Hochpunkt hatte ich sogar, aber irgendwie habe ich die Nullstelle vergessen mit einzubringen.

Super erklärt !;)

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Weißt du zufällig auch wie man bei b) vorgehen muss ? :)

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Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von f

f ( x ) = 1/16x³ +3/8x^{2
f ´( x ) =} 3/16 * x^2 + 6/8 * x
f ´´ ( x ) = 6 /16 * x + 3 / 4

Wendestelle ( Krümmung 0 )
6 /16 * x + 3 / 4 = 0
x = -2
Damit wäre b.) schon beantwortet.

Man kann noch die Koordinaten
komplett berechnen
f ( -2 ) = ?
und man kann die Steigung noch berechnen
f ´ ( -2 ) = ?

Answer 2

f(x) =ax^3+bx^2+cx+d

Im allgemeinen, da es eine Funktion dritten Grades sein soll.

Somit fehlen dir 4 Bedingungen.

Einmal f(-4)=2 , also der Punkt an der f(x) „beginnt“ und dazu f‘(-4)=0, da hier von einer Hochebene und so einem hochpunkt geredet wird, bei der die erste Ableitung null ist (waagerechte Tangente).

Dann haben wir Punkt f(0)=0 , der Punkt in dem die Funktion in die „x Achse übergeht“

Und somit eine waagerechte Tangente entsteht f‘(0)=0.

Die Punkte setzten wir jetzt in die Funktion ein und erhalten 4 Gleichungen.

F(0)

0=d

f(-4)

2= -64a+16b

f‘(-4)

0=48a-8b

f‘(0)

0=c

Das rechnest du entweder per Hand in einem linearen gleichungssystem oder mit dem TR.

Dabei kommen for a=1/16 und b=3/8 raus.

f(x)= 1/16x^3+3/8x^2