Gleichung nach x auflösen: (a^4+b^4)x^2-2(a^2+b^2)x+1=0

Question

in der Aufgabenstellung heißt es weiter, dass alle Parameter so gewählt sind, dass die Gleichung definiert ist.

Das grundsätzliche Lösungsprinzip mit pq-Formel ist mir bekannt. Ich scheitere nur an der Auflösung/ Vereinfachung der entstehenden Wurzel.
 

Answer 1

Weil wir hier noch einen Faktor vor dem x^2 haben würde ich persönlich eventuell die abc-Formel anwenden.

x = (-b ± √(b^2 - 4·a·c))/(2·a)

a = a^4 + b^4
b = - 2·a^2 - 2·b^2
c = 1

x = (- (- 2·a^2 - 2·b^2) ± √((- 2·a^2 - 2·b^2)^2 - 4·(a^4 + b^4)·1))/(2·(a^4 + b^4))
x = (2·a^2 + 2·b^2 ± √(4·a^4 + 8·a^2·b^2 + 4·b^4 - (4·a^4 + 4·b^4)))/(2·a^4 + 2·b^4)
x = (2·a^2 + 2·b^2 ± √(8·a^2·b^2))/(2·a^4 + 2·b^4)
x = (a^2 + b^2 ± √2·a·b)/(a^4 + b^4)

Answer 2

\((a^4+b^4)x^2-2(a^2+b^2)x+1=0\)

\((a^4+b^4)x^2-2(a^2+b^2)x=-1\)

\(x^2-\frac{2(a^2+b^2)}{a^4+b^4}x=-\frac{1}{a^4+b^4}\)

\(x^2-\frac{2(a^2+b^2)}{a^4+b^4}x+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2=-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2\)

\((x-\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2=-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2  |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x-\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}=\sqrt{-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2} \)

\(x_1=\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}+\sqrt{-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2}\)

2.)

\(x-\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}=-\sqrt{-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2} \)

\(x_2=\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}-\sqrt{-\frac{1}{a^4+b^4}+(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2}\)

\(\sqrt{(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2-\frac{1}{a^4+b^4}}=\sqrt{(\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4})^2-\frac{a^4+b^4}{(a^4+b^4)^2}}\\=\sqrt{\frac{a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-b^4}{(a^4+b^4)^2}}=\sqrt{\frac{2a^2b^2}{(a^4+b^4)^2}}=\frac{|a|\cdot |b|\sqrt{2}}{|a^4+b^4|}\)

Comments

Wurzeln vereinfache ich später.

Das vollmundige Versprechen beobachten wir mit Interesse.