Aufgabe:
Es sei \( f : D \rightarrow W, x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \). Skizzieren Sie den Funktionsgraph und geben Sie (mit Begründung) möglichst große Mengen \( D, W \subset \mathbb{R} \), so dass \( f \) umkehrbar ist. Zeigen Sie, dass \( f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \) die Umkehrfunktion ist. Geben Sie auch für \( f^{-1} \) den Definitions- und Wertebereich an.
Ansatz:
Ich weiß, dass die Funktion umkehrbar ist im Interwall D[-2;2] und W[-1;1], jedoch wüsste ich gerne wie ich beweise dass das der Umkehrfunktion ist.
