Lineare Algebra: Permutation. Zeigen, dass S3 = {e, σ, σ^2 , τ, τ ◦ σ, τ ◦ σ^2}.

Question

 Es seien σ, τ ∈ S3 die folgenden Permutationen: σ := (1 2 3/ 2 3 1) , τ :=  (1 2 3 /2 1 3) .

(a) Zeigen Sie, dass S3 = {e, σ, σ^2 , τ, τ ◦ σ, τ ◦ σ^2}.

Ich habe Permutation einigermaßen verstanden. Zum Beispiel für τ ◦ σ habe ich: (123/132). Aber wie sieht eine Permutation zum Beispiel für σ^2 oder e aus?

Comments

ich denke dass e das neutrale Element also die identische Permutation ist. σ² = σ ° σ

Answer 1

Hallo Evelyn, wir wissen ja, dass die Symmetriegruppe S₃ die Menge aller Permutationen von (1, 2, 3) enthält.  Also: 
$$ { S }_{ 3 }=\left( \left\{ { \pi  }_{ 1 },{ \pi  }_{ 2 },...,{ \pi  }_{ 6 } \right\} ,\circ  \right) $$
mit
$$ {\pi}_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ {\pi}_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ {\pi}_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ {\pi}_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ {\pi}_{5}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ {\pi}_{6}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

Wenn es dir jetzt gelingt, jeder Abbildung in deiner gegebenen Formel eine andere dieser 6 Permutationen zuzuordnen, bist du fertig.

Wenn du weitere Fragen hast, frag ruhig.

Comments

Meines Erachtens ist τ ° σ nicht (123/132), sondern (123/321), weil zuerst σ und dann τ ausgeführt wird.