Aufgabe:
Es bezeichne \( S_{n} \) die \( n \)-te symmetrische Gruppe. Für \( \sigma \in S_{n} \) betrachten wir die Permutationsmatrix
\( E_{\sigma}:=\left(\delta_{i, \sigma(j)}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in M_{n}(K), \)
wobei \( \delta \) das Kronecker-Symbol bezeichnet. Seien \( \sigma, \tau \in S_{n} \), sowie \( A \in M(m \times n, K) \) und \( B \in M(n \times m, K) \) gegeben. Es bezeichne \( \left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right) \) die Standardbasis des \( K^{n} \). Zeigen Sie:
(i) \( E_{\sigma} \cdot e_{j}=e_{\sigma(j)} \) und \( E_{\sigma} \cdot E_{\tau}=E_{\sigma \tau} \).
(ii) \( E_{\sigma} \in G L_{n}(K) \) und \( E_{\sigma}^{-1}=E_{\sigma^{-1}} \).
(iii) Die Matrix \( A \cdot E_{\sigma} \) geht aus \( A \) durch Permutation der Spalten gemäß \( \sigma \) hervor.
(iv) Die Matrix \( E_{\sigma^{-1}} \cdot B \) geht aus \( B \) durch Permutation der Zeilen gemäß \( \sigma \) hervor.
