Ableitung. Erste Ableitung von D(x)= ((a*(bx+c)^p)/x)+k

Question

Hallo zsm,

unzwarkann ich folgende Funktion nicht ableiten:

D(x)= ((a*(bx+c)^p)/x)+k

Ich hoffe einer kann mir dabei helfen. Ich weiß, dass ich die Quotientenregel anwenden muss aber ich kann es kaum vereinfachen.

Answer 1

Hallo Ray,

[ a·(b·x + c)^p / x + k ] '  =  ( a·p·b·(b·x + c)^p-1 · x - a·(b·x + c)^p ·1 ) / x²

                                    =  ( a·(b·x + c)^p-1 · (b·x·(p - 1) - c) ) / x²

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für die schnelle Antwort. In der letzten Zeile weiß ich leider nicht, warum beim zweiten Term das a und das ^p verschwindet. Und warum steht da (p-1)

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A^p = A^p-1 _*  A 

a·(b·x + c)^p-1  wurde im Zähler ausgeklammert:

a·(b·x + c)^p-1 * [ pbx - (b·x + c) ]   

=  a·(b·x + c)^p-1 * [ p·b·x - b·x - c ] 

=  a·(b·x + c)^p-1 * [ b·x ·(p - 1) - c ]  

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rechts darf man das doch nicht ausklammern, da da nur ^p steht und nicht ^p-1.

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 Beispiel:

p = 5  ,  p-1 = 4

x⁴ - x⁵  =  x⁴ * (1 - x)

x^p-1 - x^p  =  x^p-1 * (1 - x)

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vielen Dank, jetzt hab ich es mit der Ableitung endlich verstanden.Die ursprüngliche Aufgabe, war es dabei das Minimum zu bestimmen. Ich weiß, dass der erste Term, also a*(bx+c)^p-1 ungleich 0 ist und dass alle x element von D (Definitionsbereich sind). Aber was sagt mir das? Beim nächsten Schritt wird bx*(p-1)-c gleich 0 gesetzt. Aber warum verschwindet auch hier das x^2 im Nenner?

In der Aufgabenstellung steht, dass a,b,c und k positive reelle Zahlen sind und p>1.

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> ... warum verschwindet auch hier das x² im Nenner? 

Ein Bruch ist genau dann = 0, wenn der Zähler = 0 ist  (falls Nenner ≠ 0)

   Z/N = 0  ⇔_N≠0  Z = 0

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ahh ok, also ist der Nenner irrelevant. Aber warum betrachtet man den Ausdruck links nicht mit  a*(bx+c)^p-1 ??? Warum setzt man das nicht 0?

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D '(x) = 0  ⇔_x≠0    bx*(p-1) - c = 0  oder  (b·x + c)^p-1 = 0

> Ich weiß, dass der erste Term, also a*(bx+c)^p-1  ungleich 0 ist

>  a*(bx+c)^p-1  ???  Warum setzt man das nicht 0?

Wenn du das erste - woher auch immer - weißt, macht die Frage keinen Sinn.

Es ist im Übrigen schwierig, "Warum-Fragen" zu beantworten, wenn man die Aufgabenstellung und den offensichtlich vorhandenen Lösungsvorschlag nicht kennt!

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Ein Freund von mir hat mal die Aufgabe so gerechnet und das so aufgeschrieben. Dann formuliere ich die Frage mal um. Könnte ich anhand der Informationen unten auch die linke Seite, also a*(bx+c)^p-1 0 setzen?

Die Aufgabe lautet:

S(x)= (a*(bx+c)^p+kx)x

dabei sind a,b,c, und k positive reelle Zahlen und p>1.

Gesucht ist das Minima.

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> S(x) =  ( a*(bx+c)^p + kx ) x

In der Aufgabenstellung heißt es

>  D(x) = ((a*(bx+c)^p) / x) + k    (???)

 Das ist keineswegs die gleiche Funktion!

> Könnte ich anhand der Informationen  a*(bx+c)^p-1 0 setzen?

Ich beziehe mich auf D und D ' :  

  a*(bx+c)^p-1 = 0   ⇔   bx+c  = 0  ⇔  x = - c/b  

wegen b > 0  hat der Geradenterm  bx+c   und damit D '  dort einen Vorzeichenwechsel

 von - nach + ,  dann liegt bei x = - c/b  ein Minimum.