Integralrechnung: Wie integriere ich die Funktion f(x) = -x^3 + 6x^2?

Question

∫₀⁶ -x³+6x²dx       (0 und 6 sind die Grenzen) und wie integriere ich das?

Da müsste:

[-1/4x^4+2x³] 6 und 0 =

[-1/4*6^4+2*6³] [0] = 108 

Aber wie kommen die auf 1/4?
 

Answer 1

Hallo Emre, 

 

Du hast die Funktion

f(x) = -x³ + 6x²

gegeben. 

Um diese integrieren zu können, musst Du zunächst eine Stammfunktion F(x) finden - deren Ableitung ist dann eben die Funktion f(x).

Bei einer Ableitung geht man ja so vor, dass man den Koeffizienten von xⁿ durch n teilt und dann von n eins subtrahiert. So wäre die Ableitung von f(x) = -x³ + 6x²

f'(x) = -3x² + 12x

Beim Finden einer Stammfunktion F(x) muss man das genau umgekehrt machen: Zunächst erhöht man den Exponenten um eins und dann teilt man den Koeffizienten durch diesen neuen Exponenten.

In Deinem Beispiel wird dann aus

f(x) = -1x³ + 6x² | erst den Exponenten um 1 erhöhen

-1x⁴ + 6x³ | dann den Koeffizienten durch diesen neuen Exponenten dividieren: 

-1/4*x⁴ + (6/3)*x³, also

F(x) = -1/4x⁴ + 2x³

Wenn du F(x) ableitest, kommt f(x) heraus, wie Du leicht selbst feststellen kannst :-)

Und jetzt setzt man in dieses F(x) die Integrationsgrenzen ein: Obere Grenze - Untere Grenze ergibt dann das Integral: 

F(6) - F(0) =

(-1/4 * 6⁴ + 2 * 6³) - (-1/4*0⁴ + 2*0³) =

(-324 + 432) - (-0 + 0) =

108

 

Hope, that helps :-)

Besten Gruß

Comments

Respekt, so spät noch so eine gute Antwort :)

Eine klitzekleine Anmerkung. An der Stelle:

-x⁴ + 6x³ | dann den Koeffizienten durch diesen neuen Exponenten dividieren

würde ich -1x^4 schreiben, damit der ungeübte Leser weiß, warum nachher -1/4*x^4 da steht.

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Danke für die Anregung (habe ich eingebaut) und die Blumen :-)

Auch für Matheretter scheint zu gelten: "It never sleeps." :-D

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Man lebt nur einmal und was kann es Schöneres geben, als seine Zeit mit Mathematik zu verbringen ;)

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" ... und was kann es Schöneres geben, als seine Zeit mit Mathematik zu verbringen"

Rollerfahren :-))

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Ich hab dass immer noch nicht so verstanden :( mit der Stammfunktion und ableiten.... wie macht man das? wie geht man da vor? was muss ich beachten?

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Wenn Du eine Funktion wie 

 

f(x) = -x³ + 6x²

gegeben hast, kannst Du sie entweder ableiten oder aufleiten. 

 

Das Ableiten dient dazu, die Steigung der Funktion an allen Stellen festzustellen.

Vorgehensweise Ableiten: 

1. Den Exponenten nehmen und damit das (Vielfache) von x multiplizieren: 

3 * (-x³) + 2 * (6x²)

2. Den Exponenten um 1 verringern:

3 * (-x²) + 2 * (6x¹) = -3x² + 12x

Denn x¹ = x

Also f'(x) = -3x² + 12x

 

Das Aufleiten brauchst Du, um die Stammfunktion der Funktion zu finden und dann Integrale zu berechnen. Die Vorgehensweise ist genau umgekehrt zum Ableiten, denn wenn Du eine Funktion aufleitest und dann wieder ableitest, hast Du wieder die ursprüngliche Funktion. 

Vorgehensweise Aufleiten:

1. Den Exponenten um 1 erhöhen:

Dann wird -x³ + 6x² zu

-x⁴ + 6x³

2. x oder das Vielfache von x (hier 6x³) durch den neuen Exponenten teilen:

-x⁴/4 + 6x³/3 =

-1/4 * x⁴ + 2 * x³

Also ist die Stammfunktion von f(x) gekennzeichnet mit F(x)

F(x) = -1/4 * x⁴ + 2 * x³

Wenn Du diese ableitest, wie oben beschrieben, erhältst Du wieder f(x).