Glocke - Funktion, Graph von Polynom 4. Grades

Question

der Querschnitt einer sehr großen Glocke wird näherungsweise durch den Graphen der Funktion

f(x)=0,4x⁴ + 1,8x² + 2,3

beschrieben (Maße: Meter).

a) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich an.

b) Ermitteln Sie die Höhe der Glocke.

c) Lesen Sie aus dem Graphen ab, wie breit die Glocke in 1,5 m Höhe ist. Beschreiben Sie, wie Sie diese Breite rechnerisch ermitteln können.

Wie gehe ich denn hier vor? Ich wäre auch um eine Zeichnung des Graphen froh. Meine Zeichnung deckt sich nämlich leider nicht mit jener aus dem Lösungsheft!

Comments

Ist die Funktion richtig aufgeschrieben?

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Ja, die stimmt.

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Die  Zeichnung in meiner Antwort gehört dann zu deiner Funktion.

Answer 1

Hallo Queenie,

f(x) = 0,4x⁴ + 1,8x² + 2,3  

a)

Nehmen wir einen "sinnvollen" Durchmesser der Glocke von 2m an  →  D = [ -1 ; 1 ]

Graph:  

b)

Der tiefste Punkt des Graphen liegt bei x = 0  mit  f(0) = 2,3

An den Stellen x = ± 1  beträgt der Funktionswert jeweils f(±1) = 4,5

Damit hat unsere Glocke die Höhe h = 4,5 - 2,3  = 2,2 [Meter]

c)    

> Lesen Sie aus dem Graphen ab, wie breit die Glocke in 1,5 m Höhe ist. Beschreiben Sie, wie Sie diese Breite rechnerisch ermitteln können.

Sehr unklare Aufgabenstellung! 

Messen musst du selbst.

Die Glocke hängt normalerweise mit dem dicken Enden nach unten. Der y-Wert der "Glöckenhöhe" 1,5m liegt dann wohl bei  y =  4,5 - 1,5  = 3.  [ y = 1,5m  macht ja überhaupt keinen Sinn! ] 

Die x-Werte der Graphenpunkte  kann man mit der Gleichung  f(x) =3 berechnen, also 

0,4x⁴ + 1,8x² + 2,3  = 3   | : 0,4

   x⁴ + 4,5x² + 5,75 = 7,5

   x⁴ + 4,5x² - 1,75 = 0

(Setze z = x² , löse mit pq-Formel  die quadratische Gleichung  z² + 4,5z - 1,75 = 0

→   z₁ ≈ 0.36 ; z₂ = - 4.860076627

      x_1,2 = ± √0,36 = ± 0,6    →  Glockenbreite dort  ≈  1,2 [Meter]

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

erstmal danke für deine Antwort. Der Graph muss lt Lösung so aussehen:

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Der Graph von f(x) =  f(x) = 0,4·x⁴ + 1,8·x² + 2,3  passt eindeutig zu meinem Bild.

Der in der Lösung angegebene passt zu

f(x) = 0,4·x⁴  - 1,8·x² + 2,3    ( vergößert, D = [ -1,5 ; 1,5 ] )

und das sieht natürlich sinnvoller aus

Wenn nicht ein Fehler im Aufgabentext vorliegt, hättest du die Nachfrage von Koffi sorgfältiger prüfen müssen :-)

Die beiden Tiefpunkte sind  ( ± 1,5 | 0275 )

In c) ist mit der "Höhe 1,5m" ist jetzt einfach y = 1,5 gemeint

du musst für die Breite die Gleichung  0,4x⁴ - 1,8x² + 2,3  = 1,5 lösen: 

(analog zu    0,4x⁴ - 1,8x² + 2,3  = 3 in der Antwort )

x_{1,2  ≈} ± 0,707  ;   x_3,4  =  ± 2  ∉ [ - 1,5 ; 1,5 ]

  →  Glockenbreite dort oben ist  1,414  m  

In b) ist die Höhe der Glocke allerdings 2,3m - 0,275m = 2.025m

(die Glocke reicht bis in f(0) = 2,3m Höhe, ist aber nicht so hoch!)

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Im Aufgabentext liegt der Fehler. Meine Zeichnung sah auch aus wie deine 1. ;-)

Was mir jetzt aber noch immer nicht ganz klar ist, ist wie ich die Höhe errechne? Warum gehe ich hier von ±1 aus?

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> ....  wie ich die Höhe errechne?

Zur Höhe der Glocke (und der Breite in 1,5m Höhe) habe ich im letzten Kommentar etwas ergänzt.

> ...  Warum gehe ich hier von ±1 aus? 

Da verstehe ich nicht, was du meinst.

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Hat sich erledigt. Habs verstanden, dankeschön :-)

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immer wieder gern :-)

Beim den nächsten Fragen aber bitte gleich die Angaben aus dem Lösungsbuch.

(Auch wenn die bei b) diesmal auch mit der richtigen Funktion falsch war)

Answer 2

Hier die Zusammnfassung von

f ( x ) = 0,4x⁴ minus 1,8x^2 + 2,3

a) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen und geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich an.
Der Def-Bereich ist der untere Rand der Glocke bei
f ( x ) = 0
N ( ± 1.52 | 0 )
D = [ -1.52 ; 1.52 ]

b) Ermitteln Sie die Höhe der Glocke.
f ( 0 ) = h
h = 2.3 m

c) Lesen Sie aus dem Graphen ab, wie breit die Glocke in 1,5 m Höhe ist. Beschreiben Sie, wie Sie diese Breite rechnerisch ermitteln können.

f ( x ) = 1.5

f ( x ) = 0.4 * x^4 - 1.8 * x^2 + 2.3 = 1.5
Ersetzen
x^2 = a
0.4 * a ^2 - 1.8 * a + 2.3 = 1.5
Mitternachtsformel, pq Formel oder
Quadratische Ergänzung.
a = 0.5
und
a = 4
Rückersetzen
x^2 = 0.5
x = ± 0.707
x^2 = 4
x = ± 2 ( entfällt weil außerhalb des Def-Bereichs )

Comments

In der "Zusammenfassung" steht ziemlich viel Falsches!

1)

f ( x ) = 0,4x⁴ minus 1,8x² + 2,3    hat  keine Nullstellen  

Der Rest ergibt sich eigentlich schon aus meinen vorstehenden Kommentaren:

2)   

In b) ist die Höhe der Glocke  2,3m -  0,275m  =  2.025m      [ ≠ 2,3 m ]

Tiefpunkte ( ± 1,5 | 0,275 )  

3)

  D_sinnvoll = [ -1,5 ; 1,5 ] ≠ [ -1,52 ; 1,52 ]  ergibt sich aus den x-Werten der Tiefpunkte.