ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll...
Fs seien \( x_{0}, \ldots, x_{n} \) paarweise verschiedene Stützstellen.
a) \( (2 \text { Punkte, schriftlich) Es sei wie in Definition } 4.18 \) das Stittzstellenpolynom definiert als
$$ \Phi_{n}(x):=\prod \limits_{i=0}^{n}\left(x-x_{i}\right) $$
Zeigen Sie, dass für die Lagrange-Polynome \( \left.\ell_{j, n} \text { (Definition } 4.9\right) \) gilt:
$$ \ell_{j, n}(x)=\frac{\Phi_{n}(x)}{\Phi_{n}^{\prime}\left(x_{j}\right) \cdot\left(x-x_{j}\right)} $$
indem Sie zeigen, dass \( \Phi_{n}(x) /\left(x-x_{j}\right) \) sich nur in einem konstanten (d.h., von \( x \) unabhängigen) Faktor von \( \ell_{j, n}(x) \) unterscheidet, und diesen Faktor z.B. mit der Regel von
L'Hospital bestimmen.
Definition 4.9 (Lagrange-Polynom) Zu gegebenem Polynomgrad n und paarweise verschiedenen Stützstellen \( x_{0}, \ldots, x_{n} \) heißen die Polynome
$$ \ell_{j, n}(x)=\prod \limits_{i=0 \atop i \neq j}^{n} \frac{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}} $$
Lagrange-Polynome.
