Komplexe Zahlen. Lösungsmenge von z^6= -64 in Koordinatenform?

Question

ermitteln sie die lösungsmenge der folgenden Gleichung und stellen sie die Lösung in Koordinatenform (x+iy) dar

Das ist die Aufgabe und hiervon benötige ich die lösungsmenge in Koordinatenform 
z^6=-64

Comments

Es ist

z⁶ = -64   ⇔   z^6 - (i*2)^6 = 0

und das lässt sich zur Not faktorisieren.

Ansonsten solltest du dich mal mit den n-ten Einheitswurzeln beschäftigen.

Answer 1

Deine Zahl -64 hat den Betrag 64, also die 6. Wurzeln alle den Betrag 2, weil 2⁶ =64.

Wenn man komplexe Zahlen multipliziert, werden die Winkel mit der pos. Re-Achse addiert.

Der Winkel, den -64 als kompl. Zahl mit der  pos. Re-Achse bildet ist 180° , also musst du

den durch 6 teilen und hast 30°. Also ist eine Lösung

z1 = 2 * ( cos(30°) + i * sin(30° ) )

    = 2 * ( √3  / 2  + i * 1/2 )   =  √3    + i   .

Die nächste bekommst du, wenn du nicht von 180° sondern 180°+360° ausgehst,

das sind 540° und das durch 6 gibt 90°.

Also z2 =  2 * ( cos(90°) + i * sin(90° ) ) = 2 * ( 0 + i * 1 )  =  2i .

Dann  180°+2*360°  =  900  durch 6 gibt 150 also

z3 =  2 * ( cos(150°) + i * sin(150° ) ) = 2 * ( -√3 / 2  +  i * 1/2  )  =  -√3   +  i

etc. bis du z6 hast. Würdest du dann noch weiter machen, hättest du z7=z1.

    

Comments

Das geht auch algebraisch.

Answer 2

$$ z^6=-64\\ |z_1|=\sqrt{\text{(Realteil)}^2+\text{(Imaginärteil)}^2}\\ |z_1|=\sqrt{(-64)^2+0^2}=64\\ tanφ=\frac{\text{Imginärteil}}{\text{Realteil}}=\frac{0}{-64}=0\\ φ=π\quad \text{(2. Quadrant)}\\ n=6\\ allgemein:\\ Z_k=|z_1|^{\frac{1}{n}}e^{i\frac{φ+2kπ}{n}}(k=0,1,2,3,4,5)\\ z_0=64^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{π+2\cdot 0π}{6}}=2e^{i\frac{π}{6}}\\ z_0=2(cos(\frac{π}{6})+i\space sin(\frac{π}{6}))\\ [cos(\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2};\space sin(\frac{π}{6})=\frac{1}{2}]\\ z_0=2(\frac{\sqrt{3}}2{}+i\space \frac{1}{2})=\sqrt{3}+i\\ z_1=2(cos\frac{π}{2}+i\space sin(\frac{π}{2}))\\ z_1=2i\\ z_2=-2i\\ z_3=-\sqrt{3}+i\\z_4=\sqrt{3}-i\\z_5=-\sqrt{3}-i$$