Lineare unabhängigkeit und erzeugendensystem

Question

Ich verstehe leider die Aufgabe nicht. es wäre nett wenn mir jemand den rechenweg der überprüfung auf lineare unabhängigkeit und erzeugendensystem erläutert.

Zeigen Sie, dass Menge B linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von T1 bildet.

ist B eine Basis von T1?

Comments

Zu T1 hast du doch schon einige Erkenntnisse, die du nutzen kannst. https://www.mathelounge.de/492617/zu-vektorraumen-zeigen-sie-dass-t1-ein-teilraum-von-ℂ-3-ist

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@Lu

Lineare unabhängigkeit habe ich nun bewiesen. Wie prüfe ich, ob B ein Erzeugenensystem von T1 ist?

LG

Answer 1

Die Vektoren u und v in B sind linear unabhängig. Klar, weil eine Komponente von u Null ist und v keine Null enthält.

Nun die beiden Vektoren bei der Gleichung 2x_1 = x_2 + 3x_3 einsetzen und kontrollieren, dass/ob beide in der Menge T1 liegen.

Aus deiner vorherigen Aufgabe weisst du vermutlich schon, dass T1 nicht dreidimensional ist. D.h. T1 ist maximal 2-dimensional und du hast mit u und v zwei linear unabhängige Vektoren in T1. Diese sind daher ein Erzeugendensystem (sogar eine Basis) von T1.

Comments

Die beiden Vektoren von der Menge B erfüllen meine Voraussetzung, bedeutet das schon, dass es sich um das Erzeugenensystem meiner T1 handelt?. Wie kann ich das mathematisch aufschreiben, weil ich glaube es reicht nicht zu schreiben 2i=2i+3*0 und 4i=i+3i oder?

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2i=?=2i+3*0=2i und 4i=?=i+3i = 4i 

Stimmt. 

Den Rest in meiner Antwort musst du aber auch noch einbauen in deine Antwort.