Zwei Bruchterme vereinfachen

Question

Ein Ableitungsrechner im Internet, der mein Ableitungsergebnis  bestätigt, vereinfacht es dann noch einmal. Ich scheitere daran, diese Vereinfachung nachzuvollziehen.

\( =\frac{\ln \left(x^{2}+x\right)}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}(2 x+1)}{x^{2}+x} \)
Vereinfachen:
\( \frac{(x+1) \ln \left(x^{2}+x\right)+4 x+2}{2 \sqrt{x}(x+1)} \)

Mein Versuch der Vereinfachung scheitert an diesem Punkt:

\( \left(\frac{\left(x^{2}+1\right) \ln \left(x^{2}+x\right)+x(4 x+2)}{2 \sqrt{x}\left(x^{2}+1\right)}\right) \)

Wer hilft mir weiter oder was habe ich falsch gemacht?

Answer 1

LN(x^2 + x)/(2·√x) + √x·(2·x + 1)/(x^2 + x)

= LN(x^2 + x)/(2·√x) + √x·(2·x + 1)/(x·(x + 1))

= LN(x^2 + x)·(x + 1)/(2·√x·(x + 1)) + (4·x + 2)/(2·√x·(x + 1))

= (LN(x^2 + x)·(x + 1) + (4·x + 2))/(2·√x·(x + 1))

Comments

Und danke auch für deine Diskretion, mich nicht mit der Nase drauf zu stoßen, dass ich einem schnöden Abschreibfehler zum Opfer gefallen bin! G.R

Answer 2

$$\frac{\ln \left(x^{2}+x\right)}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}(2 x+1)}{x^{2}+x}\\ \frac{ln(x^2+x)(x^2+x)+\sqrt{x}(2x+1)\cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x^2-x)}\\ =\frac{x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+x\right)+x \cdot \ln \left(x^{2}+x\right)+2 x(2 x+1)}{2\sqrt{x}(x^2-x)}\\ =\frac{x^{2} \cdot \ln \left(x^{2}+x\right)+x \cdot \ln \left(x^{2}+x\right)+4 x^{2}+2 x}{2 \sqrt{x}\left(x^{2}+x\right)}\\ =\frac{x\left[x \ln \left(x^{2}+x\right)+\ln \left(x^{2}+x\right)+4 x+2\right]}{2 \sqrt{x}\cdot x\left(x+1\right)}\\ =\frac{\ln \left(x^{2}+x\right)[x+1]+4 x+2}{2 \sqrt{x}(x+1)} $$

                                 

Answer 3

Damitt beide Brüche auf dem Hauptnenner stehen, wird der erste mit x²+x und der zweite mit 2·√x erweitert:

[(x²+x)ln(x²+x)+2x(2x+1)]/[2√x(x²+x)] =[(x²+x)ln(x²+x)+4x²+2x]/[2√x(x²+x)], also das, was du auch hast.(mit 2 vor der Klammer). In Zähler und Nenner lässt sich noch x ausklammern und kürzen.