Brauche Hilfe um einen Umformungsschritt nachzufllziehen

Question

Hallo :)

Ich brauche Hilfe... Ich weiß es sieht erst mal Physikalisch aus, aber mir geht es hier eher um einen mathematischen Umformungsschritt, den ich einfach nicht nachvollziehen kann... Von Gleichung (2.4) bis (2.7) Verstehe ich noch alles, aber ich verstehe einfach den Schritt von( 2.7) auf (2.8) nicht. Anscheinend wird, wenn ich die Grenzen des Integral einsetze, ein quadratische Gleichung daraus.... die ich dann mit der p-q Formel lösen kann. Das habe ich versucht, kam aber nie auf die Gleichung (2.8)

Ich wäre wirklich sehr dankbar, wenn mir Jemand die Schritte zeigen könnte, die ich machen muss um von (2.7) auf (2.8) zu kommen.

Ganz Liebe Grüße :)

Answer 1

Φ(r) = G·M/r + 1/2·Ω^2·r^2

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Setzen wir mal ein

Φ(R) = Φ(R + L)

G·M/R + 1/2·Ω^2·R^2 = G·M/(R + L) + 1/2·Ω^2·(R + L)^2

Das musst du jetzt nach L auflösen

2·G·M·(R + L) + Ω^2·R^3·(R + L) = 2·G·M·R + Ω^2·R·(R + L)^3

Ω^2·R·(R + L)^3 - 2·G·M·(R + L) - Ω^2·R^3·(R + L) + 2·G·M·R = 0

Subst z = R + L

Ω^2·R·z^3 - (2·G·M + Ω^2·R^3)·z + 2·G·M·R = 0

Eine Nullstelle bei R

(Ω^2·R·z^3 - (2·G·M + Ω^2·R^3)·z + 2·G·M·R) : (z - R) = R·Ω^2·z^2 + R^2·Ω^2·z - 2·g·m = 0

z = - R/2 - √(R·(8·g·m + R^3·Ω^2))/(2·R·Ω)

Resubst. L = z - R

L = - 3/2·R ± √(R·(8·g·m + R^3·Ω^2))/(2·R·Ω)

L = - 3/2·R ± √(2·g·m/(R·Ω^2) + R^2/4)

L = - 3/2·R ± √(R^2·8·g·m/(4·R^3·Ω^2) + R^2/4)

L = - 3/2·R ± R/2·√(8·g·m/(R^3·Ω^2) + 1/1)

L = - 3/2·R ± R/2·√(1 + 8·G·M/(R^3·Ω^2))

L = R/2·(- 3 ± √(1 + 8·G·M/(R^3·Ω^2)))

L = R/2·(± √(1 + 8·G·M/(R^3·Ω^2)) - 3)

L = R/2·(√(1 + 8·G·M/(R^3·Ω^2)) - 3)

Comments

Vielen lieben Dank für diese ausführliche Antwort. :)

Ich bin gerade dabei die Schritte nachzuvollziehen.... und hänge bei diesem Schritt:

L = - 3/2·R ± √(R·(8·g·m + R³·Ω²))/(2·R·Ω)

zu

L = - 3/2·R ± √(2·g·m/(R·Ω²) + R²/4)

Wie hast du das gemacht? Ich stehe da gerade irgendwie auf dem Schlauch, sorry

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L = - 3/2·R ± √(R·(8·g·m + R³·Ω²))/(2·R·Ω)

Ich ziehe den Divisor in die Wurzel

L = - 3/2·R ± √(R·(8·g·m + R³·Ω²)/(4·R^2·Ω^2))

Nun kürzen

L = - 3/2·R ± √((8·g·m + R³·Ω²)/(4·R·Ω^2))

Dann in zwei Brüche auseinander ziehen

L = - 3/2·R ± √(8·g·m/(4·R·Ω^2) + R³·Ω²/(4·R·Ω^2))

erneut kürzen

L = - 3/2·R ± √(2·g·m/(R·Ω²) + R²/4)

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Was meinst du damit du ziehst den Divisor unter die Wurzel? Du Multiplizierst ja anscheinend die (2·R·Ω) unter der Wurzel wieder mit (2·R·Ω) aber wo nimmst du das her?

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√a / b = √(a / b^2)

Beachte, dass im ersten Fall das b nicht in der Wurzel steht. Im zweiten Fall schon.

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Ah! Jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank :)

Wie machst du das eigentlich alles so schnell? Du scheinst dir ja nur eine Frage anzusehen und sofort die Antwort zu wissen..... das ist fast schon ein bisschen unheimlich....   :D

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Das ist eigentlich nur ein wenig Übung und ein recht brauchbarer analytischer Verstand.

Nimm das was du hast, nimm das was du haben willst und ermittle daraus einen brauchbaren Weg um vom einen zum anderen zu kommen :)

Bei schwierigen Dingen kann man sich aber auch von einem Mathe-Tool wie Wolframalpha unter die Arme greifen lassen.

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Ich bin auf jeden Fall sehr beeindruckt :)  .... und hoffe, dass ich das auch mal wenigstens halb so gut kann  :D