wie stelle ich diese summe um, sodass ich den grenzwert berechnen kann? (grenzwert der reihe berechnen)

Question

$$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{{3}^{n-1}}} $$

$$= \sum_{n=2}^{\infty}{{(\frac{1}{3})}}^{n-1} $$

$$= \frac{4}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{{(\frac{1}{3})}^{n-1}}$$

$$=\frac{4}{3}\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{{(\frac{1}{3})}^{n}}\cdot 3$$

$$=4\cdot \sum_{n=0}^{\infty}{{(\frac{1}{3})}^{n}}$$

 dies ist mein rechenweg, ich bin hier soweit gekommen, dass ich obiges da stehen habe und nurnoch die potenz irgendwie einen hoch bekommen muss, das ich die regel für geometrische reihen anwenden kann, ich glaube hier an der stelle den fehler gemacht zu haben
aber ich sehe hier nichts was mich zum richtigen ergebnis kommen lässt... das ergebis soll $$ g=\frac{1}{2} $$sein.

Ich würde mich freuen wenn ihr mir bei diesem kleinen problem helfen könntet :)

Answer 1

ich erhalte folgendes:

$$ \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{{3}^{n-1}}}\\= \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{{3}^{k+1}}}\\=\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{{3}^{k}}}\\=\frac{1}{3}\frac{1}{1-1/3}\\=\frac{1}{3}\frac{3}{2}=\frac{1}{2} $$

Im ersten Schritt findet eine Indexverschiebung statt:

die Summe beginnt bei 2 und soll bei 0 beginnen,

daher macht man k= n-2 -> n=k+2

Comments

ahhh, ich habs mir, wie immer, viel zu kompliziert gemacht :D Vielen dank, wusste nicht mehr genau wie ich das mache wenn ich nur den index verschieben möchte habe es deshalb über die potenzgesetze zerlegt :D vielen dank

Answer 2

Das, was da gegeben ist, ist die Summe der Potenzen von 1/3 Das ist eine unendliche geometrische Reihe mit der Summe 1/(1-1/3)=3/2.

Comments

Sicher\( \)?

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mein rechenansatz ist falsch ab dem moment wo ich aus dem exponenten n-1 n gemacht habe denke ich weil es der einzige schritt ist in dem ich mir unsicher bin, am besten mal komplett selber durch rechnen damit ihr nicht auf meine eingebauten fehler reinfallt :)

du musst beachten das die summe in der aufgabenstellung erst mit n=2 anfängt und der exponent n-1 ist

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Von meiner leider falschen Summe muss man noch (1/3)⁰=1 subtrahieren, denn dieser Summand fehlt in der angegebenen Summe.

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könntest du mir einmal den schritt zeigen wie du den exponenten reduzierst?

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hast du dort einfach (1/3)^0 und (1/3)^1 quasi abgespalten?

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Wenn ich in der gegebenen Summe für n= 2 einsetze entsteht 1/3, wenn ich 3 einsetze, entsteht 1/3² und  so weiter; Zu bestimmen ist also die Summe 1/3+1/3²+1/3³+.... Die Summenformel lautet 1/3⁰+1/3¹+1/3²+1/3³+................ =1/(1-1/3).

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wieso muss ich denn hier irgendwo was einsetzen, das verstehe ich nicht ganz, wir haben laut skript nur diese formel für g=1/(1-q) und da muss ich ja auf die form einer geometrischen reihe kommen und die ist ja (q)^n, gibt es etwa einen trick wo ich mir das sparen kann den in die grundform zu überführen?

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Setze n - 1=m, dann wird n=2 zu m=1 und gesucht ist die Summe von m=1 bis ∞ von (1/3)^m. Das ist die Summe aus der bekannten Formel vermindert um 1=(1/3)⁰.