Aus einer Urne Kugeln ziehen.

Question

Hallo bräuchte mir folgender Aufgabe Hilfe (Bei a.) habe ich eine Lösung die bitte überprüfen und bei der b.) bitte helfen da komme ich echt nicht klar mit.) :

Aus einer Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln wir k-mal ohne Zurücklegen gezogen.

a.) Sei zunächst k = 3 sowie r ≥ 3 und s ≥ 2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der dritten Ziehung eine rote Kugel gezogen wird.

Meine Lösung habe ich mittels Baumdiagramm versucht und alle Pfade bei denen in der dritten Ziehung rot kam dann aufsummiert und nach langem ausmultiplizeren und kürzen kam dann die folgende Lösung bei rum :       r / (r+s)  .

b.) Sei nun allgemein k ≥ 4 sowie r  ≥ k und s ≥ k-1, Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der k-ten Ziehung eine rote Kugel gezogen wird.

Schönen Abend noch 

Kevin

Answer 1

Alle Kugeln werden durchnummeriert und es wird r+s mal ohne zurücklegen gezogen.

Aus den ersten k Ebenen des dazugehörigen Baumdiagrammes bekommt man das Baumdiagramm zu b) indem man rote Kugeln zusammenfasst, schwarze Kugeln zusammenfasst und die Nummern ignoriert. Das neue Baumdiagramm darf deshalb verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit in b) zu berechnen.

Vorteil des neuen Baumdiagramms ist, dass alle Ergbnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Kugeln in der Reihenfolge g₁ g₂ ... g_r+s zu ziehen ist also genau so wahrscheinlich, wie die Kugeln in der Reihenfolge h₁ h₂ ... h_r+s zu ziehen (wenn die g₁ g₂ ... g_r+s paarweise verschieden sind und die h₁ h₂ ... h_r+s paarweise verschieden sind). Es reicht also, die verschiedenen Reihenfolgen zu betrachten, in der die Kugeln gezogen werden können.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel mit der Nummer n an der Stelle k steht, ist die gleiche, wie dass sie an der Stelle 1 steht.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel an der Stelle 1 steht, ist r/(r+s). Also ist  die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Kugel an der Stelle k steht, r/(r+s).

Viele Experimente lassen sich auf Laplace-Experimente zurückführen (in denen alle  Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind) und mit denen kann man einfacher rechnen. Das ist mit ein Grund, warum diese Experimente die ersten sind, die man in der Schule kennenlernt.

Comments

oswald, können Sie bitte mal ein paar Schritten zeigen, wie man hier die Wahrscheinlichkeiten a und b genau berechnet ? vielen Dank.

---

Wie die a) geht, hat Kevin bereits in seiner Frage erläutert: Baumdiagramm zeichnen, aus dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit berechnen, den entstandenen Term vereinfachen. Zu welchem dieser Schritte hast du Fragen?

Die Schritte zu b) sind genau die, die ich in meiner Antwort angegeben habe. Das sind zwar keine Rechenschritte mehr, aber Argumentationschritte. Welchen Argumentationsschritt konntest du nicht nachvollziehen?

Und außerdem: Die Teilaufgabe a) kann man auch lösen indem man b) löst und dann argumentiert, dass wegen b) die Wahrscheinlichkeit bei a) auch r/(r+s) sein muss. Sie wurde nur deshalb noch davor geschoben, damit man sich anhand des konkreten k=3 einen Überblick über die Zusammenänge verschaffen kann. Erkenntnis dieser Teilaufgabe sollte wohl sein, dass die Wahrscheinlichkeit nicht von k abhängt.

---

Herzlich dank oswald.

Ist jetzt klarer geworden.

Ich habe eine frage gestellt, koennen SIe vielleicht dabei helfen ? Bitte bitte hier

https://www.mathelounge.de/494336/zufallsvariablen-und-unabhangigkeit

Lg

---

a) (r*(r-1)*(r-2)+(r-1)*s*r+(r-1)*r*s+r*(s-1)*s)/((r+s)*(r+s-1)*(r+s-2))

Wenn du das vereinfachst, hast du die Lösung. Das kannst du dir eigentlich auch mit der totalen W.keit herleiten, bin aber selbst auch nur mit dem Baumdiagramm drauf gekommen.

---

Ich komme damit nicht klar, kannst du bitte noch mehr erklären ? ich habe die Idee generell nicht gut verstanden.

---

> kannst du bitte noch mehr erklären ?

Es wäre wünschenswert, wenn du deine Fragen genauer eingrenzen könntest. Zum Beispiel:

1. Wie kommt man von (r*(r-1)*(r-2)+(r-1)*s*r+(r-1)*r*s+r*(s-1)*s)/((r+s)*(r+s-1)*(r+s-2)) zu r/(r+s)?
2. Wie kommt man vom Baumdiagram zu (r*(r-1)*(r-2)+(r-1)*s*r+(r-1)*r*s+r*(s-1)*s)/((r+s)*(r+s-1)*(r+s-2))?
3. Wie kommt man von der Textaufgabe zu einem Baumdiagramm?
4. Woran erkennt man das man ein Baumdiagramm verwenden kann, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen?
5. Was ist Wahrscheinlichkeit?

Mehr Erklärung hilft eher weniger, gezieltere Erklärung hilft mehr.