Matrixgleichung: A*X + B*X = C. Welche der Antworten stimmt?

Question

! Brauche bitte Hilfe (inklusive Rechenweg), damit ich es nachrechnen und nachvollziehen kann.

Answer 1

Sei \(E\) die 2×2-Einheitsmatrix. Dann ist \(\begin{aligned} & & A\cdot X+B\cdot X & =C & & |\text{ Distributivgesetz}\\ & \iff & (A+B)\cdot X & =C & & |\,(A+B)^{-1}\cdot\\ & \iff & (A+B)^{-1}\cdot(A+B)\cdot X & =(A+B)^{-1}\cdot C & & |\,\text{Definition Inverses}\\ & \iff & E\cdot X & =(A+B)^{-1}\cdot C & & |\,\text{Neutralität der Einheitsmatrix}\\ & \iff & X & =(A+B)^{-1}\cdot C\text{.}\end{aligned}\) Beachte, dass die Multiplikation von links mit \((A+B)^{-1}\) möglich ist, weil \(A+B\) invertierbar ist.

Comments

Ich habe folgendes hetausbekommen (also dass nur E stimmt. Ist leider falsch)

---

detA: -2*-2-(-2)*1

---

Du hast \((A+B)^{-1}\) nicht korrekt bestimmt.

---

versteh es auch nicht

---

Dachte ich mir schon.  Können Sie mir zeigen, wie das geht? Zuerst A+B rechnen und dann die inverse Matrix rechen?

---

> Zuerst A+B rechnen und dann die inverse Matrix rechen?

Ja, das ist richtig; zumindest wenn das korrekt ist, was ich in Klasse 5 über Rechenausdrücke gelernt habe: KLAMMERN ZUERST AUSRECHNEN.

> Können Sie mir zeigen, wie das geht?

Forme die Matrix \(\begin{pmatrix}4&0&1&0\\1&4&0&1\end{pmatrix}\) mittels elmentarer Zeilenumforunmungen so um, dass sie die Form \(\begin{pmatrix}1&0&a&b\\0&1&c&d\end{pmatrix}\) hat. Die Matrix \(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) ist dann die Inverse von \(\begin{pmatrix}4&0\\1&4\end{pmatrix}\).