geografische und geozentrische Breite

Question

Hallo ;



Bisher konnte mir da niemand weiterhelfen und ich hoffe hier hat jemand eine Idee :)

Answer 1

Hi,
die geografische Breite ist der Winkel, den die Normale der Ellipsentangente mit der Äquatorebene einschließt. Die geozentrische Breite ist der Winkel der Verbindungsstrecke zwischen Erdmittelpunkt und Äquatorebene .

Die Ellipsentangente im Punkt \( (x_0, \ y_0) \) berechnet sich wie folgt $$ \frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{c^2} = 1 $$ also
$$ y_T(x) = -\frac{c^2 x_0}{a^2 y_0} x + \frac{c^2}{y_0} $$
Die Normale zur Tangente hat damit die Gleichung $$ y_N(x) = \frac{a^2 y_0}{c^2 x_0}(x-x_0)+y_0 $$ Der Schnittpunkt \( x_1 \) mit der Äquatorebene berechnet sich aus $$ 0 = \frac{a^2 y_0}{c^2 x_0}(x_1-x_0)+y_0  $$ Daraus folgt $$ x_1 = -y_0 \frac{c^2 x_0}{a^2 y_0}+x_0 $$

Die geografische Breite ist also $$ \tan(\beta) = \frac{y_0}{x_0-x_1} = \frac{y_0}{y_0 \frac{c^2 x_0}{a^2 y_0}} = \frac{a^2}{c^2} \frac{y_0}{x_0} = \frac{a^2}{c^2} \tan(\beta')    $$

Comments

vielen Dank schonmal dafür. Das sieht sehr gut aus.

Nun wurde uns aber gesagt, man solle die Rechnung am Anfang so machen, wie ich das oben getan habe.

Kann man also meine letzte Zeile oben irgendwie "beweisen"?

Hätte das gerne jetzt mal gewusst, wie das geht ;)

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Das ist die Definition der geografischen Breite und das gleiche, was ich gerechnet habe. Die Steigung der Normalen ist die geografische Breite.

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also 1/y' ist die Steigung der Normalen. Das wäre ja aber bei mir dann der tangens der geografischen Breite und nicht die Breite selbst

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Ja der Tangens ist richtig. Die Steigung war aber \( -\frac{1}{y'}  \)

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ok, nur wie kommt man da rauf. Geometrisch sehe ich das einfach nicht, weil ja der Winkel nicht an der Normalen anliegt, sondern an der Normalen zum Horizont

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oder wählr ich das ganze so, dass die Normale der Tangente = der normalen des Horizontes ist?

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habs mir jetzt nochmal gezeichnet und verstanden. Vielen Dank :)