einmal Kontrollblick bitte: injektivität beweisen für f : R^2 x R^2 mit (n, m) --> ( 2n - m, n + m)

Question

Moin!

es soll Injektivität gezeigt werden für: f : R^2 x R^2 mit (n, m) --> ( 2n - m, n + m)

z.Z.: f(n, m) = (2n - m, n + m)

also:

f(m, n) = (a, b)

(2m - n, n + m) = (2a - b, a + b)

1. Gleichung: 2n - m = 2a - b

2. Gleichung: n - m = a + b

1. + 2.:

3n = 3a  // :3

n = a

da n = a :

1. Gleichung: 2n - m = 2a - b

2n - m = 2a - b

=> -m = -b    // *(-1)

=> m = b

damit ist gezeigt, dass f(m, n) = (a, b) ==> Funktion ist Injektiv

Kann ich das so stehen lassen oder sollte irgendwas irgendwo noch verbessert werden?

Comments

Zeile 3:

f : R² → R²  (n,m) ↦ (2n - m , n + m ) ist gleichbedeutend mit f(n,m) = (2n - m, n + m)

Zeile 4 : f(n,m) = (a,b) aber in Zeile 5 geht es weiter mit f(n,m) = f(a,b)

letzte Zeile: du hast gezeigt dass f injektiv ist: wenn f(n,m) = f(a,b) , dann (n,m) = (a,b)

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f : (n,m) ↦ (2n - m , n + m) ist eine eindeutige zuordungsvorschrift und definiert eine funktion mit der eigenschaft f(n,m) := (2n - m , n + m)

f : D → Z , (n,m) ↦ (2n - m , n + m) hier wird noch die Definitonsmenge D und Zielmenge Z angegeben

Answer 1

> z.Z.: f(n, m) = (2n - m, n + m)

f(n, m) = (2n - m, n + m) braucht nicht gezeigt werden.

f(n, m) = (2n - m, n + m) ist bereits in der Aufgabenstellung so festgelegt.

> f(m, n) = (a, b)

Du meinst wohl f(m, n) = f(a, b). So genau weiß ich das nicht, aber deine nächste Zeile lässt das vermuten.

Du solltest Variablen deklarieren bevor du sie verwendest: "Seien m,n,a,b ∈ ℝ mit f(m, n) = f(a, b)."

> (2m - n, n + m) = (2a - b, a + b)

Ein Beweis besteht nicht aus eine blosen Aneinanderreihung von Aussagen, sondern aus einer begründeten Herleitung von weiteren Aussagen aus den bereits vorhandenen. Diese Herleitung sollte in natürlicher Sprache erfolgen: "Dann ist (2m - n, n + m) = (2a - b, a + b) laut Definition von f."

Comments

> z.Z.: f(n, m) = (2n - m, n + m)

f(n, m) = (2n - m, n + m) braucht nicht gezeigt werden.

f(n, m) = (2n - m, n + m) ist bereits in der Aufgabenstellung so festgelegt.

D.h.

f(n, m) --> (2n - m, n + m) ist von der Aussage her das gleiche wie

f(n, m) = (2n - m, n + m)

?