Steckbriefaufgaben : ganzrationale Funktion 4. Grades

Question

ich komme bei diesen Aufgaben überhaupt nicht weiter und schreibe bald eine Klausur.

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph ...

a) zur y-Achse symmetrisch ist und in W (-2 | 0) eine Wendetangente besitzt, welche die y-Achse in S (0 | 8/3) schneidet.

b) durch die Punkte N (-4 | 0) und S (0 | -4) und in T (4 | 0) einen Sattelpunkt besitzt.

c) durch den Punkt P (3 | 6) verläuft, die x-Achse in N (4 | 0) schneidet und im Ursprung O einen Sattelpunkt besitzt.

Und leider noch eine Aufgabe:

Welche ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, hat T (2 | 4) als Tiefpunkt und schließt mit der Tangente durch T eine Fläche mit dem Inhalt 256/15 ein.

Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet!

Answer 1

> Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades

Allgemeine Form ist

        f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.

Du musst anhand der Angaben in der Aufgabenstellung die Koeffizienten a, b, c, d und e bestimmen. Dazu musst du das Wissen nutzen, dass du über ganzrationale Funktion hast um Gleichungen aufzustellen und das entstandene Gleichungssystem lösen. Du brauchst fünf Gleichungen, weil du 5 Unbekannte hast.

Zum Beispiel a)

> zur y-Achse symmetrisch

Eine ganzrationale Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn alle Exponenten gerade sind. Also müssen

(1)        b = 0

(2)        d = 0

sein.

> in W (-2 | 0) eine Wendetangente besitzt

Das bedeutet zweierlei. Erstens verläuft der Graph durch den Punkt W(-2|0), das heißt f(-2) = 0. Das führt zu der Gleichung

(3)        a·(-2)⁴ + b·(-2)³ + c·(-2)² + d·(-2) + e = 0.

Zweitens ist (wie bei Wendepunkten üblich) die zweite Ableitung Null. Die zweite Ableitung ist

        f''(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d.

Also muss

(4)        4a·(-2)³ + 3b·(-2)² + 2c·(-2) + d = 0

sein.

> welche die y-Achse in S (0 | 8/3) schneidet.

Also muss f(0) = 8/3 sein, und somit

(5)        a·0⁴ + b·0³ + c·0² + d·0 + e = 8/3.

Das sind deine fünf Gleichungen. Löse das Gleichungssystem.

Comments

Bei der a) lautet die Funktion doch f(x) = ax^4 + bx^2 + c

oder nicht?

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Ja, nach       (1)  b = 0     (2)  d = 0

kann man übersichtlicher  f(x) =  f(x) = ax⁴ + cx² + e  schreiben  

oder wegen der Symmetrie gleich   f(x) = ax⁴ + bx² + c 

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> Bei der a) lautet die Funktion doch f(x) = ax⁴ + bx² + c

Wegen "zur y-Achse symmetrisch" darfst du das so machen. Ich habe stattdessen die Angabe "zur y-Achse symmetrisch" in die Gleichungen (1) und (2) gepackt. Das läuft auf das gleiche hinaus. Wenn nämlich

        f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e.

ist, und man (1) b = 0 und (2) d = 0 einsetzt, dann bekommt man

        f(x) = ax⁴ + 0x³ + cx² + 0x + e = ax⁴ + cx² + e.

Meine Variablen heißen zwar anders, aber es wird die gleiche Funktion entstehen. Welchen Weg du gehen möchtest, ist dir überlassen.

Aus der Angabe "welche die y-Achse in S (0 | 8/3) schneidet" kannst du auch schnell auf e = 8/3 kommen und deshalb

        f(x) = ax⁴ + cx² + 8/3

als Ausgangspunkt wählen (in der Klausur natürlich mit Begründung). Dann hast du nur noch zwei Unbekannte, die du über die Gleichungen (3) und (4) ermitteln musst.

Answer 2

ich weiß nicht was bereits geklärt ist.
ich stelle Aufgabe b.) einmal ein.

b) durch die Punkte N (-4 | 0) und S (0 | -4) und in T (4 | 0) einen Sattelpunkt besitzt.

Die Aussagen sind ( in der Kurzschreibweise )
f ( -4  ) = 0
f ( 0 ) = -4
f ( 4 ) = 0
f ´( 4 ) = 0 ( Steigung waagerecht )
f ´´ ( 4 ) = 0 ( Alle Sattelpunkte sind Wendepunkte
mit der Krümmung 0 )

Die Aussagen in die Gleichungen einsetzen
und damit ein lineares Gleichungssystem
aufstellen und lösen.

Die Kontrolllösung kommt gleich.

Bin gern weiter behilflich.

Comments

Zur Kontrolle

f(x) = 1/64·x^4 - 0,125·x^3 + 2·x - 4

Answer 3

Hallo crazygirl,

hier ein Online-Rechner, mit dem man Steckbriefaufgaben lösen kann:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

dieser liefert z.B. für c)

Bedingungen:

f(3) = 6            ( Punkt (3|6) liegt auf dem Graph)

f(4) = 0

f '(0) = 0          (Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagrechter Tangente)

f ''(0) = 0

f(0) = 0

Gleichungen: 

mit f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

     f '(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

     f "(x) = 12ax² + 6bx +2c

ergeben sich die Gleichungen:

81a + 27b + 9c + 3d + e = 6

256a + 64b + 16c + 4d + e = 0

d = 0

2c = 0     (  → c = 0 )  

e = 0

Lösung des LGS ergibt noch a = -2/9  und b = 8/9

Funktionsgleichung:  f(x) = -2/9·x⁴ + 8/9·x³ 

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ich steuere dann noch den Graph für b) bei

Gruß Wolfgang

Answer 4

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph

b) durch die Punkte N \((-4 | 0)\) und S \((0 | -4)\) und in T \((4 | 0)\) einen Sattelpunkt besitzt.

Im Sattelpunkt T \((\red{4} | 0)\) ist eine dreifache Nullstelle und in   N \((-\blue {4} | 0)\)   eine einfache Nullstelle.

Hier bietet sich nun die Lösung über die Nullstellenform der ganzrationale Funktion 4. Grades an:

\(f(x)=a(x-\red{4})^3(x+\blue {4})\)

S \((0 | -4)\):

\(f(x)=a(0-\red{4})^3(0+\blue {4})=a(-64)\cdot4=-4\)

\(a=\frac{1}{64}\)

\(f(x)=\frac{1}{64}(x-\red{4})^3(x+\blue {4})\)