Injektivität Beweisen

Question

ich bin gerade dabei diese Aufgabe zu lösen komme aber nicht weiter.

Aufgabe: Beweisen Sie ob die Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv ist.

f: ℤ x ℤ → ℤ; (n, m) ↦ 3m² -n

Problem/Ansatz:

Mein Absatz währe halt f(n, m) = f(a, b) zusetzen. Wenn man eine Variable hat klappt das wunderbar, aber bei 2 Variablen in einer Gleichung weiß ich nicht wie ich das angehen soll. Denn wenn ich es gleichsetze habe ich 4 unbekannte.

Answer 1

Aloha :)

$$f:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: (n,m)\to3m^2-n$$Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Hier ist \(f(1;0)=3\cdot0^2-1=-1\) und \(f(4;1)=3\cdot1^2-4=-1\). Das Element \((-1)\) der Zielmenge wird mindestens 2-mal erreicht. Daher ist die Funktion nicht injektiv.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir wählen ein \(z\) aus der Zielmenge \(\mathbb{Z}\) beliebig, dann ist \(f(-z,0)=3\cdot0^2-(-z)=z\). Wir können also zu jedem Element \(z\) der Zielmenge ein Tupel \((-z,0)\) der Definitionsmenge angeben, das auf \(z\) abbildet. Daher ist die Funktion surjektiv.

Bijektiv bedeutet, dass  jedes Element der Zielmenge genau 1-mal erreicht wird, oder anders ausgedrückt, dass die Funktion injektiv (\(\le1\)-mal) und surjektiv \((\ge1\)-mal) zugleich ist. Da diese Funktion nicht injektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.

Comments

Für die Funktion h: ℤ x ℤ → ℤ x ℤ; (m, n) ↦ (3m - n, -3m + n)

habe ich für die injektivität ein gegen Beispiel gefunden, nämlich

h(-1, -3) = 3*(-1) - (-3) = 0            ⇒ Erstekomponente

h(-1, -3) = -3*(-1) + (-3) = 0            ⇒ Zweitekomponente 

für h(0, 0) kommt auch bei beiden 0 raus. Das bedeutet ja das die Funktion nicht injektiv ist, da die 0 2 mal getroffen wird.

Für die surjektiviät habe ich für m = 0 und für n = z genommen und dann kommt bei mir folgendes raus:

3*0 - z = z                    -z ≠ z

-3*0 + z = z                  z = z

Heißt das jetzt das die Funktion auch nicht surjektiv ist?

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Hallo Hannes,

vielleicht solltest du deinen letzten Kommentar als Frage einsellen. Da deine Frage hier beantwortet wurde, wird der Kommentar vermutlich nicht mehr gelesen. Ich bin auch nur hier vorbei gekommen, weil ich mir immer alle Antworten von Tschaka durchlese (da kann man sehr viel lernen).

Answer 2

Für die Bijektivität kannst du eine Umkehrfunktion angeben oder ein Gegenbeispiel finden z.b. 3²- 0 = 9 und 4²+-7 = 9

Für injektive auch wieder 3²- 0 = 9 und 4²+-7 = 9

und surjektiv ist die Funktion wegen  -n