komplexe Zahl zeigen, dass es eine komplexe Zahl ω ∈ C mit ω ^2 = −3 gibt.

Question

Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl ω ∈ C mit ω ^2 = −3 gibt. Es sei nun K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C

Mein Lösungweg:

w^2=(a+bw)^2=-3

a^2+2abw+b^2*w^2=-3

b^2=1

b=+-1

a^2+2abw=0

a=0

w^2=-3 existiert mit a,b element Q.

Also ich bin gerade ein bisschen verwirrt wegen K = {a + b ω | a, b ∈ Q} ⊆ C... ist bw der Imaginärteil für die komplexe Zahl? wenn das gilt, dann muss ich bei der Umformung von (a+bw)^2 was ändern. Kann jmd. mir zuerst sagen, ob mein Lösungsweg richtig ist oder muss ich mit (a+bw)^2=a^2-b^2+2abw am Anfang weiter rechnen.

MfG

Comments

Hi Justin,

Du schreibst: "Zeigen Sie, dass es eine komplexe Zahl \(\omega \in \mathbb{C}\) mit \(\omega^2 = -3\) gibt."

Ok - soweit klar; aber jetzt:

"Es sei nun \(K = \{ a + b\omega \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \subseteq \mathbb{C}\) "

das braucht es nicht mehr, um obiges zu zeigen. Und was ist \(\mathbb{C}\)? Klar ist, dass \(\omega = i\sqrt{3}\) ist - aber fehlt da nicht ein Teil der Aufgabe?

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Das ist schon die komplette Aufgabenstellung..

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Hier ist das Bild von der Aufgabe

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Ok - dann verstehe ich nicht, was das soll. Aber Dein Lösungsweg ist auf jeden Fall nicht falsch.

Zu Deiner konkreten Frage: \(\omega\) ist definiert als \(\omega^2= -3\). Man kann Zahlen bzw. komplexe Zahlen auch als \(a + b \cdot i\sqrt{3}\) schreiben; mit \(a,b \in \mathbb{Q}\). Und wenn eine dieser Zahlen wieder \(\omega\) selbst sein soll, so hast Du das richtig mit \(a=0\) und \(b=\pm1\) berechnet.

Gruß Werner

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"Hier ist das Bild von der Aufgabe"  - steht da noch irgendwas vor  oder nach der Aufgabe was Auskunft zu \(K\) oder \(\mathbb{C}\) gibt?

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K hat mit dieser Aufgabe a) gar nichts zu tun, sondern ist eine Vordefinition für eine nächste Teilaufgabe.

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Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3? Das mit dem Körper hat mich mega verwirrt

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Ja klar, oder auch ω=-i√3 ;)

Was mit dem K angestellt werden soll steht bestimmt weiter unten.

Answer 1

Also schreib ich einfach hin w=iwurzel3?    Genau !

Und das K soll dann ja wohl ein Teilkörper von C sein.

Vermutlich sollst du das im nächsten Teil beweisen.

Comments

Ja also beim teilkörper bin ich mir nicht so sicher. Ich muss da zeigen dass K eine untergruppe mit +und* von C ist. Und außerdem?

Gruß Justin