π: X -> X ist eine Permutation. Beweisen einer Äquivalenzrelation auf X.

Question

gesucht ist er Beweis dafür, dass ~ eine Äquivalenzrelation aus X ist. und auch was die  Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation sind.

Die Aufgabe ist sehr schwierig für mich, da ich gar keine Ahnung habe. Hat eventuell einer eine Lösung oder kann mir seine Lösung erklären, damit ich es besser verstehen kann. 

Answer 1

Äquivalenzrelation muss drei Eigenschaften haben:

reflexiv, d.h. Für jedes x ∈ X gilt  x ~ x

Für deinen Fall musst du (wegen der Def. von ~ )  also überlegen:

Gibt es für jedes x ∈ X ein k mit k≥1 und π^k(x)=x.

Vielleicht habt ihr ja schon mal sowas bewiesen, dass die

Potenzen von π eine Untergruppe der Gruppe aller Permutationen

auf der Menge X bilden. Dann weißt du ja, dass id_M eine solche Potenz ist,

also gibt es so ein k, die Rel. ist also reflexiv,

symmetrisch:  Wenn x~y dann auch y~x , es gibt also k mit

π^k(x)=y.   Dann leistet die dazu inverse Permutation das nötige.

Und transitiv letztlich wegen der Abgeschlossenheit der Untergruppe.

Comments

vielen Dank,

von den Untergruppen höre ich heute zum ersten mal....

Ich habe noch zwei Fragen dazu

"Potenzen von π bilden eine Untergruppe der Gruppe aller Permutationen

auf der Menge X ",  was genau heißt das?

und was genau heißt "wegen der Abgeschlossenheit der Untergruppe"?