Zeigen, dass etwas Teilkörper von C ist. Außerdem Quadrat und multiplikative Inverse berechnen.

Question

Es sei ω ∈ ℂ eine komplexe Zahl mit ω²=-3 und K = {a + bω | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℂ.

(a) Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von ℂ ist.

(b) Berechnen Sie das Quadrat und das multiplikative Inverse von -(1/2) + 1/2ω in K.

Es scheint mir nicht so schwierig zu sein, nur leider machen mir die komplexen Zahlen noch Probleme. Kann mir jemand zeigen, wie man das erste zeigt bzw. das zweite berechnet?

<3 !

Answer 1

Es sei ω ∈ ℂ eine komplexe Zahl mit ω²=-3 und K = {a + bω | a,b ∈ ℚ} ⊆ ℂ.

(a) Zeigen Sie, dass K ein Teilkörper von ℂ ist.

Für "Teilkörper" musst du ja nur zeigen

abgeschlossen bzgl. *

abgeschlossen bzgl. +

Zu jedem x ∈ K ist das additive Inverse  in K 

und falls x≠0 auch das multiplikative 

und 1 und 0 sind drin.

etwa so: abgeschlossen bzgl. +

Seien x,y ∈ K, also gibt es a,b,c,d aus Q mit 

x = a + bω  und y = c + dω

Dann ist x*y = ( a + bω) * ( c + dω ) 

                 = ac -3bd + bcω + adω

                          = (ac -3bd)  + (bc + ad) ω

Da Q ein Körper ist, sind die Klammern wieder

in Q, also ist x*y von der gewünschten Form,

mithin auch in Q.

Entsprechend geht:

abgeschlossen bzgl. +

Zu jedem x ∈ K ist das additive Inverse  in K 

Für das multiplikative Inverse etwa so:

Sei x ∈ K, also gibt es a,baus Q mit 

x = a + bω und  ( da x≠0 ) nicht beide

a und b gleich 0.

Dann ist das Inverse   x_inv =1 / ( a+ bω)  

erweitern mit  ( a - bω)  gibt mit 3. binomi. Formel

  ( a - bω) / ( a² -b²ω² ) = ( a - bω) / ( a²  +3b² )

= a / ( a²  +3b² )     +  ( -b / ( a²  +3b² ) ω

Und die roten Terme sind wieder in Q, also alles passend.

==>   x_inv  in K.

Mit dem gleichen Erweiterungstrick bekommst du auch die Lösung

für den 2. Teil von b) hin.

Comments

Stimmt, das ist einleuchtend! Danke dir (: