Jordan Matrix - Potenz für alle m

Question

Gegeben ist folgende Matrix:

\( J_{n}(\lambda)=\left(\begin{array}{cccccc}\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda\end{array}\right) \)

Es soll $$ (J_n(\lambda))^m $$ für alle $$ m\in\mathbb{N} $$ ermittelt werden. Ich habe es zunächst mit den ersten paar m versucht, aber sehe dadurch nicht, wie man es allgemein für alle m aufschreibt. Muss man es hier vielleicht mit Vollständiger Induktion machen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Nilpotente Matrix (Jordan Normal Form)

Stichworte: matrix,nilpotent,eigenwerte

Sei K ein Körper und λ ∈ K. Fur ein n ∈ N mit n ≥ 2 definieren wir die n × n-Matrix J_n(λ), wobei wobei alle Einträge außerhalb der beiden Diagonalen Null sind.

(a) Berechnen Sie (J_n(λ))^m fur alle m ∈ N

Ich finde dazu keinen Ansatz (wir haben leider kein Skript). Kann mir hier jemand helfen?

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geht es letztendlich darum ob diese matrix nilpotent ist und dafür die potenzen gesucht sind?
außerhalb der beiden diagonalen sind die einträge Null, dann ist es für gerade n die Nullmatrix nullmatrix ist nilpotent
und ungerade n ein eintrag auf der diagonalen, die matrix ist nicht nilpotent wenn der eintrag ungleich null ist

auf der diagonale meinte ich auf der hauptdiagonale

beide kann man natürlich auch anders interpretieren, habe das im sinne von sowohl als auch

Answer 1

> sehe dadurch nicht, wie man es allgemein für alle m aufschreibt

Dann wird dir vollständige Induktion nicht weiterhelfen.

Vollständige Induktion ist ein Vefahren um Vermutungen zu beweisen. Um vollständige Induktion anzuwenden brauchst du also als erstes eine  Vermutung.

Unabhängig davon ist es natürllich sinnvoll, zu untersuchen wie sich (J_n(λ))^m+1 von (J_n(λ))^m unterscheidet.

Eine Vermutung bekommst du vielleicht aus dem binomischen Lehrsatz, nach dem \((\lambda+1)^m = \sum_{i=0}^m\begin{pmatrix}m\\i\end{pmatrix}\lambda^i\) ist.

Comments

Ich habe bereits $$ m+1 $$ betrachtet, aber die Potenz von $$ \lambda $$ entspricht dann $$ 2^m $$

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Und was vermutest du dadurch über die Einträge von (J_n(λ))^m?

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Ich habe es für die ersten drei Potenzen gemacht und die Diagonale entspricht stets $$ 2^m $$. Jedoch finde ich keinen vernünftigen Weg, um dies zu beweisen bzw. zu widerlegen.

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> die Diagonale entspricht stets 2^m

Das kann nicht sein. Schon für m = 1 steht auf de Diagonale λ, was nur in ganz ganz bestimmten Fällen das gleiche wie 2¹ ist.

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Genau das habe ich mir auch gedacht, bloß habe ich keinen weiteren Ansatz, wie es funktionieren könnte.

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> Ich habe es für die ersten drei Potenzen gemacht

Hast du erkannt, dass dann in der ersten Zeile von (J_n(λ))³ die Summanden stehen, die man bekommt, wenn man (λ+1)³ ausmultipliziert?

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Also ich erhalte $$ \lambda^3 $$ $$ 3 \lambda^2 $$ $$ 3 \lambda $$ jedoch nicht die $$ 1 $$

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> jedoch nicht die 1

Weil du (J₃(λ))³ berechnet hast.

Hättest du (J₄(λ))³ berechnet, dann hättest du auch die 1.

Um das mal zu verallgemeinern: in der ersten Zeile in der Spalte k von (J_n(λ))^m steht \( \begin{aligned} m\\k-1 \end{aligned} \lambda^{m-(k-1)} \).

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Ach so, und genauso dann in den anderen Spalten/Zeilen?

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> Ach so, und genauso dann in den anderen Spalten/Zeilen?

Nein, natürlich nicht genauso. Schon für m=1 steht in der dritten Spalte der ersten Zeile eine 0 und in der dritten Spalte der zweiten Zeile eine 1. Die Zeilen können also überhaupt nicht gleich sein.

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Hallo ich sitze an der gleichen Aufgabe. Meine Lösung wäre: Wenn N die Nilpotente Matrix darstellt, und es gilt \( N^n=0,  \) mit \(n \in IN \), dann folgt mit dem binomischen Lehrsatz:

$$ J_n(\lambda)^m=(\lambda I+N)^m=\sum_{r=0}^{m} \binom{m}{r}\lambda^{m-r} N^r=\sum_{r=0}^{\min(m,n-1)} \binom{m}{r}\lambda^{m-r} N^r. $$. Bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.

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> Wenn N die Nilpotente Matrix darstellt

Die ist nicht hinreichend eindeutig bestimmt, als das man

        (J_n(λ))^m = (λI + N)^m

schlussfolgern darf.

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Hmm ok. Dann weiß ich leider auch nicht mehr weiter. Mein Gedanke war eben J=λI+N, aber das geht wohl nicht..

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> Mein Gedanke war eben J=λI+N

Ist ja auch in Ordnung.

Die übliche Reaktion auf "N ist nicht eindeutig bestimmt." ist normalerweise, N eindeutig festzulegen, anstatt den ganzen Ansatz über den Haufen zu werfen. Die Gleichung J_n(λ)=λI+N legt N eindeutig fest.