Wurzelkriterium , Konvergenz. a) k=1 wurzel(2/k)

Question

Reihe auf Konvergenz überprüfen :

a) k=1 wurzel(2/k)

kann ich das so aufstellen : Mit dem Wurzelkrit

wurzelwurzel( 2/k)   l : (1/k)

= wurzel2

= wurzel2 > 1 und divergiert somit

Answer 1

Wurzelkriterium funktioniert nicht zumindest liefert es keine Aussage da:

$$\\ \\ \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim\quad sup } \quad \sqrt [ k ]{ \left| { a }_{ k } \right|  } \quad =\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \sqrt [ k ]{ \sqrt { \frac { 2 }{ k }  }  } =\quad { 0 }^{ 0 }\quad =\quad 1\\ \\ \\ \\ \\ $$

Würde das Minorantenkriterium verwenden denn

$$\\ \\ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \quad \sqrt { \frac { 2 }{ k }  }  } \quad =\quad \sqrt { 2 } \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { k }^{ \frac { 1 }{ 2 }  } }  } \quad$$

Comments

ok 0⁰ kann bei grenzwertberechnungen auch zu einem falschen ergebnis führen:

$$ \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim\quad sup } \quad \sqrt [ k ]{ \left| { a }_{ k } \right|  } \quad =\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \sqrt [ k ]{ \sqrt { \frac { 2 }{ k }  }  } \quad =\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \sqrt [ k ]{ \sqrt { \frac { 2 }{ k³ }  }  } \quad \quad \\ \\ =\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \quad \sqrt [ k ]{ \sqrt { 2 }  } \quad *\quad \underset { k\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { 1 }{ \sqrt [ 2k ]{ k }  } \quad =\quad 1\quad *\quad 1\quad =\quad 1$$

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Komme bei der Minorantenvariante nicht weiter, versuche es laut der Seite

http://massmatics.de/merkzettel/index.php#!26:Das_Majoranten-_und_Minorantenkriterium

aber kriege es nicht zu ende, bzw. ordentlich aufzuschreiben

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vielleicht solltest du mal die allgemeine harmonische reihe anschauen