Lineares Gleichungssystem unter Nebenbedingung?

Question

 

folgende Aufgabe wurde mir bei einer Online Überprüfung bei der Mathevorlesung von der Universität Innsbruck gestellt. Muss ich hier zuerst die Inverse Matrix bilden? Mir erschließt es sich nach unserer Vorlesung nicht wie man dann auf A kommen soll durch L x L^T. Nicht wundern dass ich zwei mal schreibe. Mir ist leider zu spät aufgefallen, dass die Darstellung der Matrix nicht gepasst hat.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax=b nach x auf. b sowie die Matrix L mit A=L L^T sind gegeben als

Welchen Wert nimmt das Element x3 an?

     

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Titel: Lineares Gleichungssystem - Matrix unter Nebenbedingung auflösen

Stichworte: gleichungssystem,matrix,lineare,nebenbedingung,funktion

folgende Aufgabe wurde mir bei einer Online Überprüfung bei der Mathevorlesung von der Universität Innsbruck gestellt. Muss ich hier zuerst die Inverse Matrix bilden? Mir erschließt es sich nach unserer Vorlesung nicht wie man dann auf A kommen soll durch L x L^T.

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax=b nach x auf. b sowie die Matrix L mit A=L L⊤ sind gegeben als

b=( -28 24 35 67 ) und L=( 2    0    0    0 -1    2    0    0 -3    -2    1    0 -6    -3    -1    1 ).

Welchen Wert nimmt das Element x3 an?

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Die Matrix ist doch schon "aufgeräumt", also einfach eins nach dem anderen einsetzen:$$2 \cdot x_1 = -28$$
usw.

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Heisst das Gleichungssystem denn

Ax = b oder Lx = b ?

L * L^{T} kannst du mit einer Matrixmultiplikation berechnen (Falls du A selbst überhaupt angeben sollst). Es ist anzunehmen, dass x gesucht ist.

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Hallo pleindespoir,

so löst du aber Lx = b und nicht Ax = b. Oder?

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Das Gleichungssystem heißt Ax= b und soll nach x aufgelöst werden. Die andere Information ist, dass b sowie die Matrix L mit A= L*L^T gegeben sind als: und dann die Matrizen b und L

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Es kann ja nicht so schwierig sein A auszurechnen. Nur vermute ich, dass das L dazu dienen sollte, die Rechnung zu vereinfachen.

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Du kannst nach dem Rezept von nn vorgehen: https://www.mathelounge.de/402477/gleichungssystem-ax-b-nach-x-auflosen-matrizenrechnung-a-l

Answer 1

Du musst das Gleichungssystem \( L L^t x = b \) lösen. Da \( L \) und damit auch \( L^t \) Dreiecksmatrizen sind, löst Du zuerst nach \( L^t x \) auf und dann nach \( x \).

Answer 2

A = L * L^T = [4, -2, -6, -12; -2, 5, -1, 0; -6, -1, 14, 23; -12, 0, 23, 47]

4·a - 2·b - 6·c - 12·d = -28
- 2·a + 5·b - c = 24
- 6·a - b + 14·c + 23·d = 35
- 12·a + 23·c + 47·d = 67

I/2 - III ; II + 5*III ; IV

8·a - 17·c - 29·d = -49
- 32·a + 69·c + 115·d = 199
- 12·a + 23·c + 47·d = 67

II + 4*I ; 2*III + 3*I

c - d = 3
7·d - 5·c = -13

II + 5*I

2·d = 2 --> d = 1

c - 1 = 3 --> c = 4

8·a - 17·4 - 29·1 = -49 --> a = 6

- 6·6 - b + 14·4 + 23·1 = 35 --> b = 8

Man hätte es auch vereinfachen können

L·L^T·x = b

Subst. L^T·x = z

L·z = b --> nach z auflösen

L^T·x = z --> nach x auflösen.

Das sollte das gleiche Ergebnis wie oben geben. Da  L und L^t aber bereits in Zeilenstufenform angegeben sind ist das daher einfacher.