DGL 1. Ordnung mit Superposition lösen? y'=-3y+x. Trennung der Variablen und dann ...?

Question

y'=-3y+x wie kann ich das mit superposition lösen

Also wenn ich normal lösen kommt homogene lösung mit trennung der variablen (Ce^x)/3 raus na ja und partikuläre lösung kann ich hir nicht bestimmen wenn ich ableitr habe ich ein mal C' und C deswegen muss man glaub ich superposition benützen oder?

Answer 1

schreib das erstmal in dieser Form:

y' +3y=x

x ist die Inhomogenität, eine lineare Funktion.

Eine partikulare Lösung bekommst du mithilfe eines Ansatzes einer linearen Funktion:

y=ax+b

y'=a

Einsetzen in DGL:

a+3ax+3b=x

Umschreiben:

3ax+(a+3b)=1x

Koeffizienten Vergleich

3a=1 und a+3b=0

--->a=1/3 ---> b=-1/9

ypart(x)=x/3 -1/9

Die Gesamtlösung ist nun die Superposition der beiden Lösungen.

y=yhom+ypart

Comments

Achso das ist das superposition es ist die gleiche ansatz wie wir dgl 2. ordnung partikuläre lösung finden super danke und meine homogene lösung ist richtig oder? (Ce^x)/3

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Nein, da ist dir das 1/3 aus dem Exponenten gerutscht:

y'+3y=0

Ansatz: y=C*e^{λx}

y'=Cλ*e^{λx}

Einsetzen:

C*e^{λx}+3Cλ*e^{λx}=0

1+3λ=0

1=-3λ

λ=-1/3

yhom=C*e^{-1/3x}

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Ah super dankeschön für hilfe

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Nocheine kleine frage können wir homogene lösung wie bein2. Ordnung nicht lösen also

y'+3y=0

=> λ+3=0

λ=-3

Einsetzen y_hom = Ce^-3x

Da kommt etwas anderes aber 

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Arrgh ich hab y und y' vertauscht ;) !

Nochmal:

y'+3y=0

λ+3=0

λ=-3

yhom = C*e^{-3x}

Jetzt passt es.

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Ah jetzt sitztes bei mir auch super nochmal danke :)