Charakteristisches Polynom mit gegebenen Eigenwerten

Question

Hallo:)

Wie berechnet man am besten das charakteristische Polynom einer Matrix mit gegebenen Eigenwerten? Zum Beispiel eine 2x2-Matrix mit den Eigenwerten -1,3?

Dankeschön.

Answer 1

Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms, bilde daher die entsprechenden Linearfaktoren:

$$ \chi(x)=a(x+1)(x-3) $$

Edit:

a = 1 

Comments

Ist die nicht immer gleich 1?

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Das wars ? So einfach ? Muss man das nicht noch weiter ausrechnen ?

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Ja da hast du recht,die höchste auftretende Potenz ist ja x^2  !

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Hi, ich habe jetzt die Aufgabe mit einer 3x3 Matrix:

Eine 3×3-Matrix hat die Eigenwerte 1, 4, -1. Geben Sie das charakteristische Polynom χ(x) dieser Matrix an. Als Ergebnis habe ich χ(x)=(x-1)*(x-4)*(x+1) gewählt.  Dies wird allerdings  als Falsch angeezeigt / gewertet. 

Bei einer weiteren Aufgabe betragen die Eigenwerte -2; -2 und 4. Als Lösung soll man erhalten: χ(x)=(-x-2)*(x-4)*(x+2).

Wie kommt man denn da auf das 3x3 Polynom?

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Beachte folgendes: bei einer nxn Matrix mit ungeradem n hast du ja bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms als höchste Potenz  -x^n stehen, das musst du bei dir noch irgendwo einbauen. Das wurde bei der zweiten Aufgabe durch den Term (-x-2)=-(x+2)

bewerkstelligt.