hier hilft, den Grenzwert von zwei bekannten Termen einzugrenzen, deren Grenzwert sich leicht bestimmen lässt. Die Wurzel-Funktion ist streng monoton steigend und immer \(\ge0\) - somit ist
$$\sqrt{x + \sqrt{x}} \ge \sqrt{x - \sqrt{x}}$$
bzw. es ist auch
$$\frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} \le \frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x - \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} $$
$$ \space = \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{ \sqrt{x}}{\sqrt{x\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) }} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{x}} }}$$
Und es ist offensichtlich
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{\sqrt{x}} }}=1$$
Damit ist zunächst gezeigt, dass der Grenzwert \(\le 1\) sein muss. Weiter gilt
$$\frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} \ge \frac{2 \sqrt{x}}{ \sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x + \sqrt{x}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}}$$
Und da offensichtlich auch
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}} }}=1$$
ist, muss der Grenzwert genauso \(\ge 1\) sein. Damit bleibt für den Grenzwert nur noch die \(1\) übrig.
Gruß Werner
