bisher hat noch niemand genantwortet und ich schreibe mal meinen Lösungsvorschlag hin. Vielleicht kann mir ja jemand sagen, ob ich einen Fehler gemacht habe oder, ob es so stimmen kann:
Ich habe mir erstmal die Kästchen aufgezeichnet für die ersten Einträge, bis j=k=4. Darüber bin ich zur folgenden Ungleichung gekommen:
$$ \sum _{ j,k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } } \ge \sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ 1 } } } $$
dann hab ich auf n summanden abgeschätzt. Da kein Glied negativ ist, erhalte ich:
$$ \sum _{ j,k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } } \ge \sum _{ j,k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ { j }^{ 2 }+{ k }^{ 2 } } } $$
Jetzt gehts an die Abschätzungen:
$$ \sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ 1 } } } \ge \quad \sum _{ d=1 }^{ n }{ d*\frac { 1 }{ d^{ 2 }+{ d^{ 2 } } } } =\quad \sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { d }{ 2d^{ 2 } } } =\sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ 2d } } =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ d=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ d } } $$
Somit hätte ich das ganze auf die harmonische Reihe zurückgeführt und damit gezeigt, dass das supremum nicht kleiner als unendlich ist(?)
