Definitionsbereich und lokale Umkehrfunktion. Bsp. f(x) = 2/(x^2 +1)

Question

Muss die Aufgabe bis Montag abgeben, über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gegeben sei für Df = [−3; 3] die Abbildungsvorschrift f(x) = 2/(x² +1)

a) Bestimmen Sie für den vorgegebenen Definitionsbereich die Menge Wf ⊂ R, für die f : Df −→ Wf , x → f(x) eine surjektive Abbildung ist.

b) Warum ist f nicht injektiv? Finden Sie die möglichst großen Intervalle I ⊂ Df , auf denen die Einschränkung f|I injektiv ist. Geben Sie die zugehörigen lokalen Umkehrfunktionen an.

c) Fertigen Sie eine Skizze der Funktionsgraphen von f und den lokalen Umkehrfunktionen an.

a) muss ich doch nur die [-3,3[ einsetzen und kriege die 1/5 raus, wie gehts weiter? und wie kriege ich die großen Intervalle raus? Indem ich die Ableitungen bilde?

kann mir wer auch die Umkehrfunktion bilden? wäre sehr dankbar.

Comments

Kriege als Umkehrfunktion wurzel(2x-1) raus. Stimmts?

Answer 1

f(3)=f(-3) = 2/10 = 1/5  .

Max bei 0 hat Wert 2.

f ist surjektiv für W = [ 1/5  ; 2 ]

~plot~ 2/(x^2 +1) ~plot~

Umkehrfunktion    y = 2 / ( x² + 1)

tauschen      x  = 2 / ( y² + 1)

                           y² + 1  = 2 / x

                                     y²   = 2 / x     -   1

also für die nicht negative Version    y = √ ( 2 / x     -   1 )

Comments

Die "großen " Intervalle sind [ -3 ; 0 ]   und  [ 0 ; 3 ]