Sei f(x+y)=f(x)+ f(y) und f(x*y)=f(x)*f(y) Aussagen beweisen

Question

Seien f(x+y)=f(x)+ f(y) und f(x*y)=f(x)*f(y)

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1. f(1)=1

2. ∀x ∈ℕ₀: f(x)=x

3. ∀x ∈ℤ: f(x)=x

4. ∀x ∈ℝ: x>0 -->  f(x)>0

wie kann ich das beweisen?

Comments

Ich hab noch vergessen zu sagen, dass x,y ∈ℝ sind und f ≠0

Answer 1

Hi,

die erste Aussage beweist du mit dem 1. Punkt:

Es gilt: f(1*1)=f(1)*f(1)

Wieso muss nun f(1)=1 gelten?

Die zweite Aussage kannst du ganz schnell per Induktion mit Hilfe der erste Aussage und des ersten Punkts beweisen.

Die dritte Aussage kannst du lösen indem du y=2x betrachtest, wobei x eine negative ganze Zahl ist. Verwende erneut den ersten Punkt.

Ist die Funktion eventuell stetig? Sehe gerade nicht wie man die vierte Aussage beweisen kann.