Beweisführung durch Induktion

Question

Ich bin mir nicht sicher wie das hier so funktioniert aber ich verstehe diese Aufgabe einfach nicht ich sitze hier jetzt schon so lange dran und komme einfach nicht weiter. Könnte mir bitte jemand helfen ?

Beweise das nachfolgende zum einen mit vollständiger Induktion und zum anderen mit einer anderen Beweismethode.

 .

Answer 1

Induktionsanfang und dann

$$ \prod_{k=1}^{n+1}{(1+\frac{2}{k})}= (1+\frac{2}{n+1})\prod_{k=1}^{n}{(1+\frac{2}{k})} $$
$$ = (1+\frac{2}{n+1})  \frac{(n+1)(n+2)}{2}          $$
$$ = (\frac{n+3}{n+1})  \frac{(n+1)(n+2)}{2}          $$
$$ = \frac{(n+2)(n+3)}{2}        $$

Comments

Es soll ja vollkommen ersichtlich sein das es sich um das selbe handelt. Aber iwi sehe ich das immer noch nicht, auch nicht bei deinem Ergebnis. Wäre echt nett wenn du mir das nochmal erläutern würdest :-) 

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Hallo Lea03,

beim Induktionsschritt nimmst Du doch an, dass die Formel für n gilt. Unter dieser Annahme musst Du doch zeigen, dass dann die Formel auch für n+1 gilt.

Deswegen starte ich bei der Rechnung bei dem Produkt für (n+1). Bei der nächsten Zeile setzt ich meine Induktionsannahme (die Formel für n) ein.

Wenn ich jetzt zeigen kann, dass dieser Ausdruck der rechten Seite der Gleichung entspricht, wenn man anstelle von n jetzt n+1 schreibt, gilt diese Formel für alle n.

Ein bisschen blöd, es aufzuschreiben, aber lass es Dir einmal durch den Kopf gehen. Kannst Dich gerne noch mal melden.

Gruß

Woodoo 

Answer 2

Nach Induktionsbehauptung nächsten Faktor multiplizieren: [(n+1)(n+2)/2]·[1+2/(n+1)] = (n+2)(n+3)/2 und das ist dasselbe, wie wenn man n durch n+1 ersetzt.