Extrempunkte in Koordinatenursprung berechnen

Question

Die Extrempunkte habe ich berechnet aber ich verstehe nicht wie ich den Punkt mit kürzesten Abstand zum Koordinatenursprung berechne (siehe Zeichnung Gesucht) Danke für Hilfe

Answer 1

Die Punkte auf der Geraden sind alle von der Form ( x ;  -0,5x + 4 )

also ist der Abstand vom Ursprung

d(x) = √ ( ( x-0)² + ( -0,5x + 4 - 0 ) ²  )

und die Wurzel ist ja dann am größten, wenn der Radikand am größten

ist, also untersuche nur den

( x-0)² + ( -0,5x + 4 - 0 ) ²  =  x² + ( -0,5x + 4  ) ²

=  x² +  0,25x² - 4x + 16

=   1,25x² - 4x + 16

davon das Maximum findest du auch wieder mit der Ableitung

           2,5x - 4 = 0

              2,5x = 4

                   x = 1,6

Also Maximaler Abstand im Punkt   Q ( 1,6 ; 3,2 ) .

Und die Strecke von (0;0) zu hat die Steigung 2. Das passt; denn

es ist senkrecht zu der Geraden mit y= -0,5x + 4