Bestimmen des Komplements von Unterraum U

Question

ich habe eine Aufgabe in dem ich das Komplement bestimmen soll. Doch ich habe keine Ahnung  wie ich die Definition darauf verwenden soll.  V:= R^4 und U:={(a+b,-b,b,a-b):a,b el. R} ein lin. Unterraum von V.

Ich muss dazu sagen, dass ich das auch nicht so wirklich verstehe und nicht nachvollziehen kann. Vielleicht habt ihr ja eine logische verständliche Erklärung wie ich das Komplement herausfinden kann.

Liebe Grüße Aida

Answer 1

U:={(a+b,-b,b,a-b):a,b el. R} ein lin. Unterraum von V.

 = { a(1;0;0;1)+b(1;-1;1;-1)      :a,b ∈ R}

Also ist { (1;0;0;1) ,(1;-1;1;-1) } eine Basis für U.

==>  dim U = 2  und wegen dim ℝ⁴ = 4

Du kannst also diese Basis von U durch zwei weitere

Vektoren von ℝ⁴  zu einer Basis von ℝ⁴   ergänzen.

Diese beiden ergänzten Vektoren bilden dann eine

Basis des Komplementes. Da kannst du z.B.

( 0,1,0,0) und ( 0,0,1,0) nehmen.