Beweis: Produkt von Kubikzahlen

Question

Seien a, b, n ∈ ℕ mit ggT(a,b) = 1 und n³ = a × b. Beweisen sie, dass a und b Kubikzahlen sind.

Hatte jetzt gedacht, dass man dann a = x³ und b = y³ schreiben kann. Dann wäre es ja x × x × x × y × y × y = xy × xy × xy = (xy)³. Aber dann ist ja nicht bewiesen, dass es Kubikzahlen sein müssen, sondern nur, dass es für Kubikzahlen so funktioniert.

Ich weiß nicht womit ich anfangen soll. Zudem soll es mir auch helfen zu zeigen, dass y² + y = x³ keine Lösung in ℕ hat. Aber ohne den ersten Teil, komme ich da natürlich auch nicht drauf.

Comments

zeigen, dass y² + y = x³ keine Lösung in ℕ hat.

Das ist nach dem ersten Teil wohl so zu machen:

y² + y = x³

y*(y+1) = x³

Nun ist ggt(y, y+1) =1 und x³ ist eine Kubikzahl.

Gäbe es keine Lösung in ℕ, so müssten

y und y+1 Kubikzahlen sein, aber es gibt keine

zwei Kubikzahlen, die sich nur um 1 unterscheiden.

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Ah das klingt logisch! Danke

Answer 1

Seien a, b, n ∈ ℕ mit ggT(a,b) = 1 und n³ = a × b. Beweisen sie, dass a und b Kubikzahlen sind.

Die Vor. ist entscheidend. Ohne sie wäre z.B.  mit a=2 und b=4 das Produkt a*b=8 eine

Kubikzahl, die beiden Faktoren aber nicht.

Und zwar folgt aus ggT(a,b) = 1 ja, dass a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben.

Andererseits fogt aus a*b ist Kubikzahl, dass in der Primfaktorzerlegung von a*b jeder

Primfaktor, der vorkommt, eine Vielfachheit hat, die ein Vielfaches von 3 ist.

Da a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben, haben auch in der Zerlegung von a

und von b alle Primfaktoren eine Vielfachheit, die ein Vielfaches von 3 ist, sind

also selber auch Kubikzahlen.

Answer 2

> ggT(a,b) = 1

Dann haben a und b keine Primfaktoren gemeinsam.

> n³ = a × b

Wie sieht denn die Primfaktorzerlegung einer Kubikzahl aus?