Kubikzahlen Beweis: ∑ (1 bis n) (k^3) = 1/4·n^2·(n + 1)^2

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion:

$$ \sum_{k=1}^{n} k^3 =\frac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2} \text { für } n \in \mathbb{N} $$

Answer 1

Wir zeigen mal das es für n = 1 gilt:

∑ _{(1 bis 1)} (k^3) = 1^2·(1 + 1)^2/4 = 1

Ich denke das ist so ok.

Als nächstes müsste man zeigen das es für n+1 gilt unter der Voraussetzung das es für n gilt.

∑ _{(1 bis n+1)} (k^3) = ∑ _{(1 bis n)} (k^3) + (n + 1)^3 = n^2·(n + 1)^2/4 + (n + 1)^3

n^2·(n + 1)^2/4 + (n + 1)^3 = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)^2/4

n^2·(n + 1)^2 + 4(n + 1)^3 = (n + 1)^2·((n + 1) + 1)^2

(n + 1)^2·(n^2 + 4·(n + 1)) = (n + 1)^2·(n + 2)^2

(n + 1)^2·(n^2 + 4·n + 4) = (n + 1)^2·(n + 2)^2

(n + 1)^2·(n + 2)^2 = (n + 1)^2·(n + 2)^2

Die beiden Ausdrücke sind gleich also ist es gezeigt.

Comments

n²·(n + 1)²/4 + (n + 1)^{3 ab hier verstehe ich nicht, wie Sie auf diesen Umformung kommen} 

n²·(n + 1)²/4 + (n + 1)³ = (n + 1)²·((n + 1) + 1)²/4

können Sie mir bitte erklären, wie es geht?

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Das würde ich auch gerne wissen.
Warum der Bruch 1/4 aufeinmal so komsich wurde.

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Statt 1/4 x zu schreiben schreibt ein Mathematiker auch oft x/4. Einfach um sich die 1 zu sparen. Wenn du es aufschreibst kannst du aber gerne den Faktor 1/4 ganz nach vorne ziehen.

Bei der ersten Frage ersetzt man das n durch n+1 in der Annahme

∑ (1 bis n) (k^3) = 1/4·n^2·(n + 1)^2

∑ (1 bis n+1) (k^3) = 1/4·(n+1)^2·((n+1) + 1)^2

Wobei ich dann die Summe in zwei Summanden aufteile

∑ (1 bis n) (k^3) + (n+1)^3 = 1/4·(n+1)^2·((n+1) + 1)^2

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Kurze Frage: warum wird aus dem + plötzlich ein • ? In der 4. Zeile

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Ich weiß nicht genau welche Zeile du meinst. Schreibe mal bitte die zwei Zeilen hin, deren Übergang du nicht verstehst.

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Meinst du den Übergang

n²·(n + 1)² + 4(n + 1)³ 

nach

(n + 1)²·(n² + 4·(n + 1))

Klammer mal mit dem Distributivgesetz in der ersten Zeile (n + 1)^2 aus. Dann sollte das klar sein. 

Alternativ kannst du auch mal die untere Zeile ausmultiplizieren. 

Answer 2

Induktionsanfang ist klar.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n > 0, für das die Behauptung gilt.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist  ∑_k=1,...,n+1 k³= (1/4)·(n + 1)²·(n + 2)².
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
∑_k=1,...,n+1 k³ = (1/4)·n²·(n + 1)² + (n + 1)³
=(1/4)·(n + 1)²·(n² + 4·n + 4) = (1/4)·(n + 1)²·(n + 2)².
 

Answer 3

I.A.: n=1: 1^3 = 1 = 1/4 * 1 * 4
I.S.: n=n+1: S_(k=1) bis (n+1) k^3 = S_(k=1) bis (n) k^3 + (n+1)^3 = 1/4 n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 =
So jetzt forme um (ausklammer usw.) . Dann kommst du auf das Ergebnis, alles klar?


gruß...