> ... durch multiplizieren auf die andere Seite?
Die Vorstellung, etwas "auf die andere Seite" zu bringen, fand ich noch nie sonderlich hilfreich. Das ist nämlich nicht das, worauf es ankommt.
Es kommt darauf an, alles zu entfernen, was verhindert, dass man die Lösung direkt aus der Gleichung ablesen kann.
In der Gleichung \(\frac{25}{x}-0,5\lambda = 0\) stört mich zunächst das \(-0,5\lambda\). Das habe ich mittels der Operation \(| +0,5\lambda\) entfernt. Das hat funktioniert, weil durch diese Operation die Gleichung
(1) \(\left(\frac{25}{x}-0,5\lambda\right)+0,5\lambda = 0+0,5\lambda\)
entsteht. Die linke Seite der Gleichung kann dann nämlich mittels "Subtraktion ist Addition der Gegenzahl" und Assoziativgesetz umgeformt werden zu
(2) \(\frac{25}{x}+(-0,5\lambda+0,5\lambda)\),
was sich vereinfachen lässt zu
(3) \(\frac{25}{x}+0\)
weil \(-0,5\lambda\) die Gegenzahl von \(0,5\lambda\) ist, deren Summe also \(0\) ist. Das lässt sich nun weiter vereinfachen zu
(4) \(\frac{25}{x}\)
weil Addition von \(0\) neutral ist. Die rechte Seite von Gleichung (1) kann man recht schnell mittels der Neutralität der \(0\) bei der Addition vereinfachen zu \(0,5\lambda\). Es entsteht also die Gleichung
(5) \(\frac{25}{x} = 0,5\lambda\).
Die Tatsache, dass auf der rechten Seite jetzt plötzlich ein \(0,5\lambda\) aufgetaucht ist, war aber nicht das Ziel der Operation \(| +0,5\lambda\). Sie ist nur sozusagen eine Nebenwirkung, die man in Kauf nehmen muss, weil man ja eine Operation auf beiden Seiten der Gleichung ausführen muss.
Den Schülern wird meiner Meinung nach zu früh eingeimpft, die Schritte (1), (2), (3) und (4) im Kopf zu machen, und nur noch (5) hinzuschreiben. Einige werden sich dadurch nicht bewusst, welche Schritte im Details eigentlich ausgeführt werden müssen (wenn auch nicht auf dem Papier).
> Warum kann man nicht mit 25 multiplizieren?
Kann man natürlich. Das ergibt dann die Gleichung
\(\frac{25}{x}\cdot 25 = 0,5\lambda\cdot 25\).
Schau mal in den Bruchrechenregeln nach, wie man die linke Seite vereinfachen kann. Wenn du das richtig vereinfachst, dann hast du noch keinen Fehler begangen, sondern lediglich etwas unnötiges.
SPOILER ALERT Vereinfacht man \(\frac{25}{x}\cdot 25 = 0,5\lambda\cdot 25\) dann bekommt man
\(\frac{625}{x} = 12,5\lambda\).
Man könnte auch auf die Idee kommen, Gleichung (5) durch 25 zu teilen anstatt mit 25 zu multiplizieren. Dann bekommt man
\(\frac{25}{x}:25 = 0,5\lambda:25\)
was nach Bruchrechenregeln
\(\frac{25}{x\cdot25} = 0,5\lambda:25\)
ergibt; es kann mit 25 gekürzt werden und man hat
\(\frac{1}{x} = 0,5\lambda:25\).
Man will aber im Nenner (d.h unter dem Bruchstrich) kein \(x\) haben. Man will
\(x = \dots\)
haben. Um das \(x\) aus dem Nenner zu entfernen habe ich Gleichung (5) mit \(x\) multipliziert. Mit Zwischenschritten eregibt das
\(\frac{25}{x}\cdot x = 0,5\lambda x\)
also
\(\frac{25\cdot x}{x} = 0,5\lambda x\)
und Kürzen auf der linken Seite liefert
\(25 = 0,5\lambda x\).
