Rotation eines Vektorfeldes mit beliebig differenzierbaren Funktion

Question

Hallo :)

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe: Bestimmen sie die Rotation des Vektorfeldes  A^→ = r^↦ f(r) wobei f(r) eine beliebig differenzierbare Funktion ist.

Mich irritiert das f(r) ... dass das r dabei kein Vektor ist.

so wird ja die Rotation berechnet: ∇× A(r^↦)

Aber wie geht das hier?

So vielleicht?

 Keine Ahnung ob das stimmt und wie ich weiter machen muss.... .:/

:)

Answer 1

Mit r ist der Radius in Kugelkoordinaten gemeint, daher die Funktion f hängt nur vom Radius ab. Beachte, dass r^-> = (x(r),y(r),z(r)) auch eine Funktion ist und du hier die Produktregel verwenden musst.  Am einfachsten ist: schreibe r^-> = r * e_r ^-> , also Darstellung in Kugelkoordinaten und verwende die Darstellung des Gradienten in Kugelkoordinaten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten#Transformation_des_Nabla-Operators 

Danach bildet du das Vektorprodukt , wobei zu beachten ist, dass die versch. Einheitsvektoren jeweils untereinander senkrecht zueinander sind. Falls du Hilfe brauchst beim ausrechnen , melde dich nochmal.

Comments

oh Gott...jetzt verstehe ich gar nichts mehr

trotzdem danke für die Antwort.

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Meintest du das so?  Also soll ich eigentlich das Kreuzprodukt zwischen Nabla und r^↦ bilden? und was mache ich dann mit f(r)?

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Was verstehst du denn genau nicht? Wenn man das obige anwendet, erhält man folgende Berechnung:

$$ \nabla \times \vec{A}=\nabla \times \vec{e}_r *r*f(r)\\=(\vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e}_\varphi\frac{1}{rsin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \varphi})\times \vec{e}_r *r*f(r)\\=(\vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r}(r*f(r))+f(r)\vec{e}_\theta\frac{\partial}{\partial \theta}+f(r)\vec{e}_\varphi\frac{1}{sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \varphi})\times \vec{e}_r\\=\vec{e}_r\frac{\partial}{\partial r}(r*f(r))\times \vec{e}_r+f(r)\vec{e}_\theta\times(\frac{\partial}{\partial \theta}\vec{e}_r)+f(r)\frac{1}{sin(\theta)}\vec{e}_\varphi\times(\frac{\partial}{\partial \varphi} \vec{e}_r)\\=0+f(r)\vec{e}_\theta\times(\frac{\partial}{\partial \theta}\vec{e}_r)+f(r)\frac{1}{sin(\theta)}\vec{e}_\varphi\times(\frac{\partial}{\partial \varphi} \vec{e}_r)\\=f(r)\vec{e}_\theta\times(\vec{e}_\theta /r)+f(r)\frac{1}{sin(\theta)}\vec{e}_\varphi\times( \vec{e}_\varphi /r)\\=0+0+0=0 $$

Sprich: bei einem radialsymmetrischen Vektorfeld rotiert nix ;)

Wenn ihr bisher nur in kartesischen Koordinaten gerechnet habt, dann kannst du deinen Ansatz schon verwenden, musst aber die Produktregel und Kettenregel beachten:

$$ \vec{A}=\begin{pmatrix} x*f(r)\\y*f(r)\\z*f(r) \end{pmatrix}\\r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \vec{A}=\begin{pmatrix} x*f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\y*f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})\\z*f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \end{pmatrix}\\\nabla\times\vec{A}=\begin{pmatrix} \frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\\\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y} \end{pmatrix}$$

PS: Als ich angefangen habe, diesen Kommentar zu schreiben, habe ich deinen zweiten Kommentar noch nicht gelesen, mache ich jetzt noch.

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Hier nochmal die letzten beiden Zeilen, weil es die falsch anzeigt:

$$\text{Nur x-Komponente:}\\\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\=\frac{\partial (z*f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})) }{\partial y}-\frac{\partial (y*f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}))}{\partial z}\\=z*2y*f'(r)-y*2z*f'(r)=0 $$

Hoffe das hilft dir weiter :)

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Ja das hat mir wirklich sehr geholfen :)

Ich habe noch eine Frage zu einer Aufgabe. Hier soll ich die Divergenz des Vektorfeldes B bestimmen.... Geht das so? Und wenn ja wie mache ich weiter? Ich weiß nicht ganz wie ich das partiell Ableiten soll....

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Bei der Berechnung von B musst du auf die Variablen achten, ich komme auf:

$$ \vec{B}=\vec{A} \times \vec{r}=\begin{pmatrix} A_yz-A_zy\\A_zx-A_xz\\A_xy-A_yx \end{pmatrix} $$

Dann ist

$$\vec{\nabla}*\vec{B}= \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} A_yz-A_zy\\A_zx-A_xz\\A_xy-A_yx \end{pmatrix}\\= \frac{\partial}{\partial x}(A_yz-A_zy)+\frac{\partial}{\partial y}(A_zx-A_xz)+\frac{\partial}{\partial z}(A_xy-A_yx )\\=z\frac{\partial}{\partial x}A_y-y\frac{\partial}{\partial x}A_z+x\frac{\partial}{\partial y}A_z-z\frac{\partial}{\partial y}A_x+y\frac{\partial}{\partial z}A_x-x\frac{\partial}{\partial z}A_y\\=x(\frac{\partial}{\partial y}A_z-\frac{\partial}{\partial z}A_y)+y(\frac{\partial}{\partial z}A_x-\frac{\partial}{\partial x}A_z)+z(\frac{\partial}{\partial x}A_y-\frac{\partial}{\partial y}A_x) $$

Die variablen x,y,z kannst du an den anderen partiellen Ableitungen jeweils als konstanten Faktor vorbeiziehen.

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:)

Weiter vereinfachen kann man es nicht, oder? Wäre irgendwie schön gewesen, wenn es wie oben 0 ergeben hätte... ;)