f : R^n→R^m lineare Abbildung. Kern und Bild von Darstellungsmatrix M(f) ==> a) m≤n, wenn f surjektiv?

Question

Hallo , kann mir jemand bitte bei den Aufgaben helfen ?

Sei f : R^n→R^m eine lineare Abbildung. Beweisen Sie mit Hilfe Ihres Wissens  über ber den Kern und das Bild von der Darstellungsmatrix M(f) folgende Aussagen

a) Zeigen Sie, dass m ≤ n ist, wenn f surjektiv ist.

b) Zeigen Sie, dass m ≥ n ist, wenn f injektiv ist.

c) Zeigen Sie, dass m = n ist, wenn f ein Isomorphismus ist.

d) Zeigen Sie, dass die Aussage aus c) keine ¨Aquivalenz sondern eine Implikation ist (umgangssprachlich: ”Die Rückrichtung nicht gilt”).

Comments

hier steht:

"mit Hilfe Ihres Wissens  über ber den Kern und das Bild von der Darstellungsmatrix M(f) " 

Was weisst du darüber? Z.B. etwas über die Dimensionen von Kern und Bild? Das könnte helfen. 

EDIT: Gemäss Schreibregeln sind aussagekräftige Tags und Überschriften zu setzen. Das müssen Moderatoren von Hand machen, wenn du dich nicht an die Regeln hältst. 

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"Beweisen Sie mit Hilfe Ihres Wissens  über ber den Kern und das Bild von der Darstellungsmatrix M(f) folgende Aussagen"

Hast du irgendein Wissen über den Kern und das Bild der Darstellungsmatrix M(f) ???

Willst du das nicht mitteilen oder denkst du das ist hier unwichtig ???

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Entschuldigt bitte, ich dachte, dass wäre auch ohne die Definition klar.

Über Kern hatten wir bislang, dass es eube TM derUrbildmenge R^n der Abb f ist.

und Bild: TM der Bildmenge von R^m der Abb f.

Answer 1

> Wissens  über ber den Kern und das Bild von der Darstellungsmatrix M(f)

Das ist eine m×n-Matrix. Kern ist Lösung der Gleichung M(f) · x = 0. Bild ist der Spaltenraum.

> wenn f surjektiv ist

Dann ist Bild(f) = ℝ^m also muss es  mindestens m Spalten geben.

> wenn f injektiv ist

Dann hat die Gleichung M(f) · x = 0 genau eine Lösung.

> wenn f ein Isomorphismus ist

Dann ist f injektiv und sujektiv.

> Die Rückrichtung nicht gilt

Yoda das als Umgangsspache bezeichnet. Alle andere sagen "Die Rückrichtung gilt nicht". Sei M(f) die Nullmatrix.