Parabel mit gegebener Steigung und 2 Punkten berechnen

Question

Ich muss eine Parabel berechnen bei der 2 Punkte und an diesen 2 Punkten jeweils die Steigung gegeben ist. Der erste Punkt ist (x₁=0/y₁=0) und der zweite Punkt ist (x₂=-191/y₂=-46.5). Beim ersten Punkt muss die Steigung gleich null sein (Ableitung gleich =0) und beim zweiten Punkt muss die Steigung 75° betragen. Wer kann mir die Parabelgleichung geben?

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Was soll denn das für eine Parabel sein?

Answer 1

Der erste Punkt ist (x₁=0/y₁=0) und der zweite Punkt ist (x₂=-191/y₂=-46.5). Beim ersten Punkt muss die Steigung gleich null sein (Ableitung gleich =0) und beim zweiten Punkt muss die Steigung 75° betragen. 

Eine Parabel hat die Gleichung f(x)  = ax^2 + bx + c . 

Nun kannst du folgende Gleichungen hinschreiben:

f(0) = 0, f ' (0) = 0 .

---> b = c = 0. 

D.h. es ist hier bereits klar, dass y = ax^2.

Nun hast du noch einen weiteren Punkt und dort 2 Vorgaben

f(-191) = -46.5

und f '(-191) = tan(75°) 

Vermutlich werden sich die beiden Gleichungen widersprechen. Du kannst mit beiden das a ausrechnen und dann vergleichen. 

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Ich beziehe mit mal aus die Idee mit der Ellipse und die Bilder darunter. Die lenkt dir Licht, das aus dem einen Brennpunkt kommt nicht auf zueinander parallele Bahnen.

Solltest du das wollen, eine andere Idee:

irgendwie drehen

An der blau markierten Stelle muss vielleicht die Ableitung nicht unbedingt 0 sein.

Du hättest nun nur noch:

f(x)  = ax² + bx + c .

Erste Gleichung:

f(0) = 0.

--> c = 0. (Koordinatensystem an die markierte Stelle gelegt)

D.h. es ist hier bereits klar, dass y = ax² + bx

Nun hast du noch einen weiteren Punkt und dort 2 Vorgaben (damit 2 Gleichungen)

f(-191) = -46.5

und f '(-191) = tan(75°)

Answer 2

:-)

f (0) = 0
f (-191) = -46,5
f ' (0) = 0
f ' (-191) = tan(75°)

Vier Bedingungen ==> Vier Parameter a,b,c,d ==>
kubische Parabel f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d => Vier Gleichungen mit vier Unbekannten.

f (0) = 0
a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0 ==> d = 0 

f (-191) = -46,5
a(-191)^3 + b(-191)^2 + c(-191) + d =  -46,5
-6967871a + 36481b - 191c = -46,5

f ' (0) = 0
3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 ==> c = 0

f ' (-191) = tan(75°)
3a(-191)^2 + 2b(-191) = tan(75°)

Es sind c=d=0 und zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a, b bleiben übrig.
-6967871a + 36481b  = -46,5
109443a - 382b = tan(75°)

a ≈ 0,0000889542
b ≈ 0,0157156

f(x) = 0,0000889542*x^3 + 0,0157156*x^2

Grüße

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Besten Dank

Ich kann deine Lösungen vollständig nachvollziehen und es werden alle Bedingungen erfüllt. Ich hatte aber die Hoffnung, dass es wie eine Parabel im Bereich zwischen X=-191 und  0, sowie zwischen Y=-46.5 und 0 aussehen soll. Was mache ich falsch wenn es wie im angehängten Bild aussehen soll?

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Was mache ich falsch wenn es wie im angehängten Bild aussehen soll?

Nichts. Die Polynome sind so widerspenstig. Vielleicht wäre ein andere Typ von Funktion der bessere Ansatz. Vielleicht magst du ja verraten, wofür du es brauchst, dann findet sich eventuell eine brauchbare Alternative.

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Die Kurve soll die Form einer Abdeckung für eine Beleuchtung darstellen. Mein Vorschlag wäre es somit mit der Ellipsengleichung zu versuchen. Ich habe immer noch die gleichen zwei Punkte als Vorgabe und die zwei Steigungen an diesen Punkten. Die Ellipsengleichung lautet x²/a²+y²/b²=1. Dies wären dann zwei unbekannte, was mit 4 Gleichungen wieder überbestimmt scheint. Habt ihr einen besseren Vorschlag? 

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Warum braucht man eine Funktionsgleichung für eine Abdeckung? *kopfkratz*
Mit deinem Ellipsen-Ansatz komme ich auf f(x) = 49,9885·√(1 - x^2 / 191,467^2) - 49,9885

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Besten Dank. Deine Berechnung ist vollkommen richtig und genau das was ich gesucht habe. Leider benötige ich noch deine Hilfe bei der Herleitung des Resultats. Ich sehe den Weg nicht, dass wir 4 Gleichungen haben (2 Punkte und 2 Ableitungen in diesem Punkt), aber nur zwei unbekannte (a und b). Ich habe noch einen zweiten Fall, bei dem die Punkte bei X1=0/Y1=0 und X2=-147.5/Y2=-44 sind. Die Ableitung im ersten Punkt ist wieder Null und die Ableitung im zweiten Punkt ist wieder 75°.

Das Resultat dieser Rechnerei soll eine Beleuchtungsabdeckung ergeben, bei dem das Licht kontinuierlich abgelenkt wird.

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Hi
Mit dem Ellipsen-Ansatz gibt das die Funktionsgleichung
f(x) =  48.1861·√(1-x^2 / (148.060 )^2) - 48.1861
Ein anderes Mal kann ich dir gern die Rechenschritte zeigen, die zur Gleichung führen. Jetzt ist es etwas ungünstig. Hast du Lu's Kommentar unter seiner Antwort gelesen? Vielleicht ist dann der Ellipsen-Ansatz nicht mehr von Interesse.
Grüße

Answer 3

tan 75 ° = 3.732

f (0) = 0
f ' (0) = 0
f (-191) = -46.5
f ' (-191) = 3.732

Du hast 4 Aussagen. Damit ein Polynom alle
4 Aussagen erfüllt ergibt sich eine Funktion
3.Grades

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2b*x + c

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten

Damit du dich nicht immer totrechnen mußt kannst du

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

nutzen und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f (0) = 0
f ' (0) = 0
f (-191) = -46.5
f ' (-191) = 3.732

ein ( Die 4 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "
Dezimalpunkt anstelle Dezimalkomma

f(x) = 0,000088952852·x^3 + 0,01571535868·x^2

Comments

ich habe mir gerade einmal den Graph
zeichnen lassen.

Alle Angaben sind zwar erfüllt
aber der Graph hat mit der von dir
gewünschten Kurve leider nichts zu tun.

Ich werde einmal die Ellipse als
Kurvenform versuchen.

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Mein Matheprogramm hat leider aufgegeben.
Offensichtlich zu komplex,