Hi,
1.)
Es gilt:
$$lim_{x \to 0} sin(\frac{1}{x})=lim_{x \to \infty} sin(x)$$
Nun schau dir mal den Sinus an. Konvergiert dieser für x gegen unendlich?
2.)
Es gilt:
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}}$$
Zeige, dass
$$ \frac{k!}{k^k} \le \frac{1}{2^{k-1}}$$
gilt per Induktion.
3.)
Du hast dort eine alternierende Reihe. Schaue, ob $$(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})_{k \in \mathbb{N}}$$ eine monoton fallende Nullfolge ist.
Tipp: Zeige, dass
$$\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}}>1$$ gilt.
Hierzu ein Tipp: Den Nenner so erweitern, dass die Wurzeln dort verschwinden.
