Implizite Differentiation. Ellipse mit den Halbachsen a> b ist gegeben durch (x/a)^2 + (a/b)^2 = 1 …

Question

Wie geht man bei dieser Aufgabe vor?

Implizite Differentiation. Ellipse mit den Halbachsen a> b ist gegeben durch (x/a)^2 + (a/b)^2 = 1 …

Wie geht man bei dieser Aufgabe denn vor?

Muss man dasselbe wie bei der vorherigen Aufgabe machen?

Wäre sehr nett, wenn ihr mir helfen könntet.

Comments

Meinst du gleich wie https://www.mathelounge.de/502568/geschwindigkeits-beschleunigungsvektor-parameterform ? 

Answer 1

Schau mal bei:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Bei dir ist F(x,y) = x²/a² + y²/b² - 1 

also F_x(x,y) = 2x/a²  und Fy(x,y)=2y/b²  

also f ' (x) = - F_x(x,y)   / F_y(x,y) hier also

f ' (x) = - xb² / ya²    Tangente im Punkt (u;v)

[ sonst kommt man mit x und y vielleicht durcheinander.]

y = m*x+n  und  m= - ub² / va²   und   (u;v) einsetzen

v = (- ub² / va²   )*u  + n 

v  + u²b² / va²    = n    #

Durch die Ellipsengleichung hast du auch

u²/a² + v²/b²  = 1 

also u² = a²(1 - v²/b²)  in # gibt 

v +a²(1 - v²/b²)  *b² / va²    = n  

<=>  v +(b² - v²) / v    = n  

also ist die Geradengleichung

y = (- ub² / va²   ) * x  + v +(b² - v²) / v ##

Beispiel: a=3 und b=2 . Dann  ist z.B. P(√8 ; (2/3) ) ein

Punkt der Ellipse und ## ergibt    etwa   y = -1,89*x + 6 

und das passt ganz gut: 

~plot~ sqrt(4-(4/9)*x^2);-1,89*x+6 ~plot~

Answer 2

implizit differenzieren bedeutet:

leite die Gleichung nach x ab und stell dann nach dy/dx=y'  um .

(x/a)^2+(y/b)^2=1| d/dx

2x/a^2+2y'y/b^2 =0

Umstellen nach y' gibt

y'=-xb^2/(ya^2)

Die Tangenten Gleichung im Punkt (x0,y0) lautet 

t(x0,y0)=y'(x0)*(x-x0)+y0

=-xb^2/(y0*a^2)*(x-x0)+y0

Um y0 zu bestimmen , stelle die Ellipsen Gleichung nach y um! Dabei entstehen jeweils zwei mögliche Tangenten für den oberen und unteren Teil der Ellipse.