Wurzeln aus einer komplexen Zahl

Question

Folgende Aufgabe:

$${ z }^{ 5 }=7-i$$

Ergebnisse sollen in Polarform/Bogenmaß sein.

Finde die Lösung nicht. Mein Ansatz wäre Polarform, dann 5 Lösungen:

$${ z }_{ 1 }=\sqrt [ 5 ]{ \sqrt { 50 }  } *\sqrt [ 5 ]{ { e }^{ \arctan { \frac { -1 }{ 7 }  }  } } $$

$${ z }_{ 2 }=\sqrt [ 5 ]{ \sqrt { 50 }  } *\sqrt [ 5 ]{ { e }^{ \arctan { \frac { -1 }{ 7 }  }  } } +\frac { 2\pi  }{ 5 } $$

$${ z }_{ 3}=\sqrt [ 5 ]{ \sqrt { 50 }  } *\sqrt [ 5 ]{ { e }^{ \arctan { \frac { -1 }{ 7 }  }  } } +\frac {2* 2\pi  }{ 5 } $$

$${ z }_{ 4}=\sqrt [ 5 ]{ \sqrt { 50 }  } *\sqrt [ 5 ]{ { e }^{ \arctan { \frac { -1 }{ 7 }  }  } } +\frac {3* 2\pi  }{ 5 } $$

$${ z }_{ 5}=\sqrt [ 5 ]{ \sqrt { 50 }  } *\sqrt [ 5 ]{ { e }^{ \arctan { \frac { -1 }{ 7 }  }  } } +\frac {5* 2\pi  }{ 5 } $$

Ist das so richtig? Komme irgendwie nicht auf die richtigen Ergebnisse.

Answer 1

7 - i = √50·EXP(i·ATAN(- 1/7))

(7 - i)^{1/5} = 50^{1/10}·EXP(i·(1/5·ATAN(- 1/7) + k/5·2·pi))

(7 - i)^{1/5} = 50^{1/10}·EXP(1/5·i·(ATAN(- 1/7) + 2·pi·k))

Answer 2

Ich habe mal eine Lösung berechnet, es gibt natürlich 5.

->Einsetzen siehe Formel

Comments

Ich verstehe den Ansatz mit dem Arctan nicht ganz.

ME nach müsste es doch heißen arctan(-1/7), was im Bogenmaß dann -8,130 sind.

Und a ist ja in diesem Fall >0, so dass der Fall eintritt das man einfach den arctan(b/a) nehmen kann, ohne Pi oder Vielfache davon zu addieren.

So steht es zumindest hier: http://mathe-online.fernuni-hagen.de/MIB/HTML/node38.html

Aber das sind ja nie und nimmer 351,87°.

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Aber das sind ja nie und nimmer 351,87°.  Doch

7 -i liegt im 4. Quadranten , also 360° - 8.13°

= 351.87°

- 8,130°  ist aber auch richtig. Entweder so oder so.

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Das verstehe ich halt nicht. 

Hier steht doch ganz oben die Fallunterscheidung:

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1644&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

Ausgangspunkt ist doch z=7-1i.

Also haben wir a=7, b=-1.

Also ist a>0.

Dann ist Phi doch der Arcustangens von (-1/7) wie in der Tabelle im Link, erster Fall der Fallunterscheidung.

Wo steckt der Denkfehler? Verstehe ich die Fallunterscheidung falsch?

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Hier liegt Fall 4 vor.

Also ich mache es immer so:

1.)In welchem Quadrant  liegt 7 -i ? --->4. Quadrant.

2.) Wie groß ist der Winkel? -> -8.13°

3) Wie kommt der Winkel in den 4. Quadranten? Addiere 360°

->Ergebnis: 351.87°

4)ggf. Umrechnung in Bogenmaß , wenn gefordert.

Wie lautet denn die angegebene Lösung?

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Eine Lösung ist leider nicht angegeben. Warum liegt hier denn Fall 4 vor? Ist das nicht Fall 1?

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z = a + b·i
r = √(a^2 +b^2) 

Aus diesen Formeln erhältst du das richtige Argument φ von z  nur durch Betrachtung des Vorzeichens des Imaginärteils: 
φ = arccos(a/r) wenn b≥0    [  - arccos(a/r) wenn b<0 ]