Um zu prüfen, für welche Werte von \(a\in\mathbb{R}\) die Matrix \(A\in\mathbb{R}^{3\times3}\) invertierbar ist, berechnest Du die Determinante von \(A\) (z.B. mit der Regel von Sarrus oder dem Laplace'schen Entwicklungssatz). Als Ergebnis erhältst Du \(\det(A)=9a\). Genau dann, wenn die Determinante einen von \(0\) verschiedenen Wert besitzt (\(\det(A)\neq 0\)), ist \(A\) invertierbar. Für \(a\neq 0\) ist \(A\) also invertierbar, da \(\det(A)=9a\) nur für \(a=0\) den Wert \(0\) annimmt.
Nun kannst Du mit folgender expliziten Formel die Inverse von \(A\) (unter der Voraussetzung \(a\neq 0\)) berechnen:
$$A=\left(\begin{matrix}a & b & c\\d & e & f\\g & h & i\end{matrix}\right)^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\cdot \left(\begin{matrix}ei-fh & ch-bi & bf-ce\\fg-di & ai-cg & cd-af\\dh-eq & bg-ah & ae-bd\end{matrix}\right)$$
In unserem Fall ist \(\det(A)=9a\) (mit \(a\neq 0\)). Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
$$A=\left(\begin{matrix}a & 5-a & 4-a\\-2+a & 3-a & 1-a\\2-a & 2+a & 3+a\end{matrix}\right)^{-1}=\dfrac{1}{9a}\cdot \left(\begin{matrix}a+7 & -7 & a-7\\4(2-a) & 9a-8& 5a-8\\-5(2-a) & 10-9a & 2(5-2a)\end{matrix}\right)$$
Alternativ kannst Du auch die \(3\times 3\) Einheitsmatrix und \(A\) nebeneinander schreiben und \(A\) schrittweise in die Einheitsmatrix überführen. Alle dafür verwendeten Rechenoperationen werden auch auf die Einheitsmatrix angewendet. Die Matrix, die am Anfang dieses Verfahrens die Einheitsmatrix war, ist jetzt die Inverse von \(A\), nachdem \(A\) vollständig in die Einheitsmatrix überführt wurde.
Das Ergebnis kannst Du durch \(A^{-1}A=AA^{-1}=I_3\) (\(3\times3-\)Einheitsmatrix) überprüfen.
Ich wusste gar nicht, dass man in Marketingmanagement so viel Mathe braucht ;-)
