Vektorräume lineare Abbildungen

Question

Hallöle:)

Die Aufgabe bei der ich Unterstützung und Hilfe suche, lautet:

Seien V und W K-Vektorräume.
(a) Sei f : V → W eine lineare Abbildung und sei M eine linear unabhängige Teilmenge von V . Zeigen Sie: Ist f (M ) eine linear abhängige Teilmenge von W , dann ist f nicht injektiv.

(b) Zeigen Sie: Eine lineare Abbildung f : V → W bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab.
(c) Zeigen Sie: Eine Abbildung f : V → W ist genau dann linear, wenn f(αv + βw) = αf(v) + βf(w),
für alle α,β∈R und alle v,w∈V gilt.
(d) Geben Sie alle linearen Abbildungen f : R → R an, die 1 auf 2 abbilden

:)

Answer 1

Zu a habe ich spontan keine Idee, kann mir aber gut vorstellen, dass es auch recht simple über die beiden Bedingungen der linearen Abbildungen und der Definition von linearer Abhängigkeit funktioniert.

b) Nutze die Homogenität:

Es gilt:

f(ax) = a *f(x)

Wähle a = 0.

Damit ist ax der Nullvektor.

Auf der rechten Seite der Gleichung erhalten wir 0.

Damit haben wir f(0) = 0

c)
Nutze die oben erwähnte Homogenität und

f(x+y) = f(x) + f(y)

Kombiniere!

d)

f(1+1) = f(1) + f(1) = 2 +2 =4

f(1+1+1) = f(1)+f(1) +f(1) = 2+2+2=6

f(1+1+1+1) = 2+2+2+2 = 8

Reicht das als Hinweis?

Comments

Müsste nicht x=0 sein statt a=0

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Genau.

Nur wenn ich dies mache, erhalte ich :

f(a*0) = a *f(0)

Daraus kann ich aber leider noch nichts schließen. Ich kenne ja f(0) nicht.

Dementsprechend nutze ich, dass alles, das mit 0 multipliziert wird, wieder 0 ergibt und "tausche" dementsprechend a und x.Also sage ich entsprechend, dass das a innerhalb der Klammern "egal" ist, da sowieso wieder 0 rauskommt.

Answer 2

Hi :)

a)

Verwende, dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern lediglich das Nullelement enthält.

b)

Fange so an:

$$f(0)=f(2 \cdot 0) = 2 \cdot f(0)$$

c)

Ich zeige dir eine Richtung:

Sei f linear. Bedenke, dass αv und βw Element aus V sind.

$$f(\alpha v + \beta w)=f(\alpha v) + f(\beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w)$$

Ich nutze für beide Gleichheitszeichen die Linearität von f aus.

d)

Beginne wie folgt: Sei λ ∈ ℝ.

$$f(\lambda)=f(\lambda \cdot 1)=...$$

Answer 3

(a)

$$Seien\quad { m }_{ 1 }\quad ,\quad ...\quad ,\quad { m }_{ n }\quad die\quad linear\quad unabhängigen\quad Vektoren\quad in\quad M\\ und\quad sei\quad { \alpha  }_{ i }\quad \neq \quad 0\quad für\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n\quad wegen\quad der\quad linearen\quad Abhängigkeit\quad von\quad f(M)\quad so\quad dass:\\ \\ \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }{ f(m }_{ i }) } \quad =\quad 0\quad \quad |\quad { \alpha  }_{ i }\quad \neq \quad 0\quad für\quad 1\quad \le \quad i\quad \le \quad n\\ \\ Linearität\quad anwenden:\\ \\ { { f(\sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }{ m }_{ i } }  } })\quad =\quad 0\\ \\ Wegen\quad { a }_{ i }\quad \neq \quad 0\quad ist\quad \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \alpha  }_{ i }{ m }_{ i } } \quad \neq \quad 0,\quad denn\quad { m }_{ 1 }\quad ,\quad ...\quad ,\quad { m }_{ n }\quad sind\quad linear\quad unabhängig\\ (insbesondere\quad ist\quad dann\quad die\quad Darstellung\quad des\quad Nullvektors\quad nur\quad möglich,\quad wenn\quad alle\quad { \alpha  }_{ i }\\ gleich\quad Null\quad sind).\\ \\ Es\quad liegt\quad also\quad nicht\quad nur\quad der\quad Nullvektor\quad im\quad Kern\quad von\quad f.$$

Comments

Man kann auch zwischen Math-Mode und Text-Mode umschalten. So braucht es bei mir etzala immer ziemlich lang zum Rendern.

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ja echt wie geht das denn? bei mir dauert es auch recht lange

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Also Text einfach eintippen. Mathe-Formeln in doppelte Dollarzeichen ($$ -> hiermit beginnt automatisch eine neue Zeile) setzen oder durch \( und \). 

Das sieht dann z.B. so aus:

Seien \(m_1, ..., m_n\) die linear unabhängigen Vektoren in \(M\) und ...

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super danke ich wusste nicht wie man in die gleiche zeile schreiben kann habe immer die dollar benutzt. (eigentlich nehme ich ja den formeleditor und schreibe gleich den text mit rein... : )) aber da kann man nicht in textmodus wechseln oder?